방향도함수와 기울기벡터 연습문제

1.CLP-3 · 2.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

모기 한 마리가 $\mathbb{R}^3$ 의 점 $(3, 2, 1)$ 에 있다. 모기는 그 근처의 온도 $T$ 가 $T = 2x^2 + y^2 - z^2$ 으로 주어진다는 것을 알고 있다.

(a) 모기는 같은 온도를 유지하고 싶지만, 어떤 처음 방향으로든 날아가야 한다. 온도의 처음 변화율이 $0$ 이 되는 방향을 하나 구하세요. (b) 여러분과 다른 학생이 (a)에서 모두 옳은 답을 구했다면, 두 사람이 제시한 방향은 반드시 같아야 하나요? 그 이유를 설명하세요. (c) 모기가 가능한 한 빨리 시원해지고 싶다면, 어떤 처음 방향 또는 방향들이 알맞은지 구하세요.

영어 원문 보기

A mosquito is at the location $(3, 2, 1)$ in $\mathbb{R}^3$ . She knows that the temperature $T$ near there is given by $T = 2x^2 + y^2 - z^2$ .

(a) She wishes to stay at the same temperature, but must fly in some initial direction. Find a direction in which the initial rate of change of the temperature is $0$ . (b) If you and another student both get correct answers in part (a), must the directions you give be the same? Why or why not? (c) What initial direction or directions would suit the mosquito if she wanted to cool down as fast as possible?

정답·풀이 보기

(a) $(3,2,1)$ 에서의 온도의 기울기벡터는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1) = \left< 4x\,,\,2y\,,\,-2z\right>\Big|_{(x,y,z)=(3,2,1)} = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right> \end{aligned}$

이다.

모기는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1)$ 에 수직인 방향으로 날아가야 한다. 즉, 다음을 만족하는 방향 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 로 날아가야 한다.

$0 = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right>\cdot \left< a\,,\,b\,,\,c\right> = 12a+4b-2c$

$12a+4b-2c=0$ 을 만족하는 0이 아닌 임의의 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 는 허용되는 방향이다. 허용되는 단위벡터 네 개는 $\pm\frac{\left< 0\,,\,1\,,\,2\right>}{\sqrt{5}}$ 와 $\pm\frac{\left< 1\,,\,-3\,,\,0\right>}{\sqrt{10}}$ 이다.

(b) 아니요, 같을 필요는 없다. (a)에서 서로 다른 네 개의 구체적인 방향이 주어졌다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The temperature gradient at $(3,2,1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1) = \left< 4x\,,\,2y\,,\,-2z\right>\Big|_{(x,y,z)=(3,2,1)} = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right> \end{aligned}$

She wishes to fly in a direction that is perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1)$ . That is, she wishes to fly in a direction $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ that obeys

$0 = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right>\cdot \left< a\,,\,b\,,\,c\right> = 12a+4b-2c$

Any nonzero $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ that obeys $12a+4b-2c=0$ is an allowed direction. Four allowed unit vectors are $\pm\frac{\left< 0\,,\,1\,,\,2\right>}{\sqrt{5}}$ and $\pm\frac{\left< 1\,,\,-3\,,\,0\right>}{\sqrt{10}}$ .

(b) No they need not be the same. Four different explicit directions were given in part (a).

(c) To cool down as quickly as possible, she should move in the direction opposite to the temperature gradient. A unit vector in that direction is $-\frac{\left< 6\,,\,2\,,\,-1\right>}{\sqrt{41}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 11번

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