방향도함수와 기울기벡터 연습문제

1.APEX · 12.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

벡터 $\vec v=\left\langle 1,0,3\right\rangle$ 가 어떻게 "기울기" 3을 갖는 것으로 볼 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how the vector $\vec v=\left\langle 1,0,3\right\rangle$ can be thought of as having a “slope” of 3.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 이 벡터의 변위는 $x$ 방향으로 1단위, $z$ 방향으로 3단위이며 $y$ 는 변하지 않는다. 따라서 $\vec v$ 에 평행한 직선을 따라 $z$ 의 변화량은 $x$ 의 변화량의 3배이다. 즉 "기울기"가 3이다. 구체적으로, $z$ 에 평행한 $x$ - $z$ 평면 위의 직선은 기울기가 3이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. The displacement of the vector is one unit in the $x$ -direction and 3 units in the $z$ -direction, with no change in $y$ . Thus along a line parallel to $\vec v$ , the change in $z$ is 3 times the change in $x$ – i.e., a “slope” of 3. Specifically, the line in the $x$ - $z$ plane parallel to $z$ has a slope of 3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 25번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

2.APEX · 12.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

벡터 $\vec v=\left\langle 0.6,0.8, -2\right\rangle$ 가 어떻게 "기울기" $-2$ 를 갖는 것으로 생각될 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how the vector $\vec v=\left\langle 0.6,0.8, -2\right\rangle$ can be thought of as having a “slope” of $-2$ .

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. $\vec u = \left\langle 0.6,0.8\right\rangle$ 라 하자. 이것은 단위벡터이다. 이 벡터의 변위는 $\vec u$ 방향으로 1단위, $z$ 방향으로 $-2$ 단위이다. $z$ 축과 벡터 $\vec u$ 를 포함하는 평면에서, $\vec v$ 에 평행한 직선은 기울기가 $-2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. Let $\vec u = \left\langle 0.6,0.8\right\rangle$ ; this is a unit vector. The displacement of the vector is one unit in the $\vec u$ -direction and $-2$ units in the $z$ -direction. In the plane containing the $z$ -axis and the vector $\vec u$ , the line parallel to $\vec v$ has slope $-2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 26번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

3.APEX · 12.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $z=f(x,y)$ 가 $P$ 에서 미분가능하다고 하자. $\vec n$ 이 $P$ 에서 $f$ 의 접평면에 대한 법선벡터이면, $\vec n$ 은 $P$ 에서 $\ell_x$ 와 $\ell_y$ 에 수직이다.

영어 원문 보기

T/F: Let $z=f(x,y)$ be differentiable at $P$ . If $\vec n$ is a normal vector to the tangent plane of $f$ at $P$ , then $\vec n$ is orthogonal to $\ell_x$ and $\ell_y$ at $P$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 27번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

4.APEX · 12.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

곡면 위의 한 점에서 곡면에 대한 접선을 '하나의 접선'이라고 부르지 않고 곡면에 대한 방향 접선들이라고 부르는 이유를 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words why we do not refer to the tangent line to a surface at a point, but rather to directional tangent lines to a surface at a point.

정답·풀이 보기

한 점을 지나는 곡면 위에는 매끄러운 곡선이 여러 개 있으며, 각 곡선은 그 점에서 접선을 갖는다. 이 접선들은 모두 곡면에 "접"하기도 한다. 접선은 하나만 있는 것이 아니라 여러 개이고, 각각 서로 다른 방향을 향한다. 따라서 하나의 접선이라고 하지 않고 방향 접선들이라고 부른다.

원본 교재 풀이(영어)

On a surface through a point, there are many different smooth curves, each with a tangent line at the point. Each of these tangent lines is also “tangent” to the surface. There is not just one tangent line, but many, each in a different direction. Therefore we refer to directional tangent lines, not just the tangent line.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 20번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

5.CLP-3 · 2.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

모기 한 마리가 $\mathbb{R}^3$ 의 점 $(3, 2, 1)$ 에 있다. 모기는 그 근처의 온도 $T$ 가 $T = 2x^2 + y^2 - z^2$ 으로 주어진다는 것을 알고 있다.

(a) 모기는 같은 온도를 유지하고 싶지만, 어떤 처음 방향으로든 날아가야 한다. 온도의 처음 변화율이 $0$ 이 되는 방향을 하나 구하세요. (b) 여러분과 다른 학생이 (a)에서 모두 옳은 답을 구했다면, 두 사람이 제시한 방향은 반드시 같아야 하나요? 그 이유를 설명하세요. (c) 모기가 가능한 한 빨리 시원해지고 싶다면, 어떤 처음 방향 또는 방향들이 알맞은지 구하세요.

영어 원문 보기

A mosquito is at the location $(3, 2, 1)$ in $\mathbb{R}^3$ . She knows that the temperature $T$ near there is given by $T = 2x^2 + y^2 - z^2$ .

(a) She wishes to stay at the same temperature, but must fly in some initial direction. Find a direction in which the initial rate of change of the temperature is $0$ . (b) If you and another student both get correct answers in part (a), must the directions you give be the same? Why or why not? (c) What initial direction or directions would suit the mosquito if she wanted to cool down as fast as possible?

정답·풀이 보기

(a) $(3,2,1)$ 에서의 온도의 기울기벡터는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1) = \left< 4x\,,\,2y\,,\,-2z\right>\Big|_{(x,y,z)=(3,2,1)} = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right> \end{aligned}$

이다.

모기는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1)$ 에 수직인 방향으로 날아가야 한다. 즉, 다음을 만족하는 방향 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 로 날아가야 한다.

$0 = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right>\cdot \left< a\,,\,b\,,\,c\right> = 12a+4b-2c$

$12a+4b-2c=0$ 을 만족하는 0이 아닌 임의의 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 는 허용되는 방향이다. 허용되는 단위벡터 네 개는 $\pm\frac{\left< 0\,,\,1\,,\,2\right>}{\sqrt{5}}$ 와 $\pm\frac{\left< 1\,,\,-3\,,\,0\right>}{\sqrt{10}}$ 이다.

(b) 아니요, 같을 필요는 없다. (a)에서 서로 다른 네 개의 구체적인 방향이 주어졌다.

(c) 가능한 한 빨리 시원해지려면, 모기는 온도의 기울기벡터와 반대 방향으로 움직여야 한다. 그 방향의 단위벡터는 $-\frac{\left< 6\,,\,2\,,\,-1\right>}{\sqrt{41}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The temperature gradient at $(3,2,1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1) = \left< 4x\,,\,2y\,,\,-2z\right>\Big|_{(x,y,z)=(3,2,1)} = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right> \end{aligned}$

She wishes to fly in a direction that is perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1)$ . That is, she wishes to fly in a direction $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ that obeys

$0 = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right>\cdot \left< a\,,\,b\,,\,c\right> = 12a+4b-2c$

Any nonzero $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ that obeys $12a+4b-2c=0$ is an allowed direction. Four allowed unit vectors are $\pm\frac{\left< 0\,,\,1\,,\,2\right>}{\sqrt{5}}$ and $\pm\frac{\left< 1\,,\,-3\,,\,0\right>}{\sqrt{10}}$ .

(b) No they need not be the same. Four different explicit directions were given in part (a).

(c) To cool down as quickly as possible, she should move in the direction opposite to the temperature gradient. A unit vector in that direction is $-\frac{\left< 6\,,\,2\,,\,-1\right>}{\sqrt{41}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 11번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인보통자동 분류