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방향도함수와 기울기벡터

주어진 방향의 변화율과 가장 빨리 증가하는 방향(기울기벡터)을 구한다

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1문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 2.7절 · 27번대학 수준우리말 번역

xyxy-평면 위에 있는 호수의 깊이는 f(x,y)=32−x2−4x−4y2f(x, y) = 32-x^2-4x-4y^2 미터이다.

(a) xyxy-평면에 호수의 해안선을 그리세요.

미적분학 강사님이 점 (−1,1)(-1, 1) 에서 물속에 있다. 다음을 만족하기 위해 강사님이 헤엄쳐야 할 방향을 나타내는 단위벡터를 구하세요.

(a) 같은 깊이를 유지하려면? (b) 깊이가 가능한 한 빠르게 깊어지게 하려면? (즉, 물에 빠질 가능성이 가장 높게 하려면)

영어 원문 보기

The depth of a lake in the xyxy-plane is equal to f(x,y)=32−x2−4x−4y2f(x, y) = 32-x^2-4x-4y^2 meters.

(a) Sketch the shoreline of the lake in the xyxy-plane.

Your calculus instructor is in the water at the point (−1,1)(-1, 1). Find a unit vector which indicates in which direction he should swim in order to:

(a) stay at a constant depth? (b) increase his depth as rapidly as possible (i.e. be most likely to drown)?

정답·풀이 보기

(a) 해안선은 f(x,y)=0f(x,y)=0 또는 x2+4x+4y2=32x^2+4x+4y^2=32 또는 (x+2)2+4y2=36(x+2)^2+4y^2=36 이고, 이는 (−2,0)(-2,0) 을 중심으로 하고 xx 방향의 반축이 66, yy 방향의 반축이 33 인 타원이다.

그림

(b,c) (−1,1)(-1,1) 에서 ff 의 기울기 벡터는

∇f(−1,1)=[(−2x−4) ı^−8y ȷ^](−1,1)=−2 ı^−8 ȷ^{ \boldsymbol{\nabla} } f(-1,1)=\big[(-2x-4)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]_{(-1,1)}=-2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

같은 깊이를 유지하려면 깊이의 기울기 벡터에 수직인 방향으로 헤엄쳐야 한다. 따라서 ±117<4,−1>\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4,-1\right> 방향으로 헤엄쳐야 한다. 깊이가 가능한 한 빠르게 깊어지게 하려면 깊이의 기울기 벡터 방향으로 헤엄쳐야 하며, 그 방향은 −117<1,4>-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1,4\right> 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The shoreline is f(x,y)=0f(x,y)=0 or x2+4x+4y2=32x^2+4x+4y^2=32 or (x+2)2+4y2=36(x+2)^2+4y^2=36, which is an ellipse centred on (−2,0)(-2,0) with semiaxes 66 in the xx-direction and 33 in the yy-direction.

figure

(b,c) The gradient of ff at (−1,1)(-1,1) is

∇f(−1,1)=[(−2x−4) ı^−8y ȷ^](−1,1)=−2 ı^−8 ȷ^{ \boldsymbol{\nabla} } f(-1,1)=\big[(-2x-4)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]_{(-1,1)}=-2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

To remain at constant depth, he should swim perpendicular to the depth gradient. So he should swim in direction ±117<4,−1>\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4,-1\right>. To increase his depth as rapidly as possible, he should swim in the direction of the depth gradient, which is −117<1,4>-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1,4\right>.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.6절 · 2번
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