문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

방향도함수와 기울기벡터

주어진 방향의 변화율과 가장 빨리 증가하는 방향(기울기벡터)을 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 4.6절 · 29번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 공학적 도구를 사용하여 점 $P(1,2)$ 를 지나는 $f(x,y)=4x-2y+3$ 의 등위곡선을 그리고, $P$ 에서의 그래디언트 벡터를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Use technology to sketch the level curve of $f(x,y)=4x-2y+3$ that passes through $P(1,2)$ and draw the gradient vector at $P.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 13번

# 방향도함수와 기울기벡터그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 4.6절 · 30번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 기술을 이용하여 점 $P(-2,0)$ 을 지나는 $f(x,y)={x}^{2}+4{y}^{2}$ 의 등위곡선을 그리고, $P$ 에서의 기울기 벡터를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Use technology to sketch the level curve of $f(x,y)={x}^{2}+4{y}^{2}$ that passes through $P(-2,0)$ and draw the gradient vector at $P.$

정답·풀이 보기

원점을 중심으로 하고 장축이 가로 방향이며 길이가 4, 단축의 길이가 2인 타원의 위쪽 절반이다. 점 (–2, 0)이 표시되어 있고, 이 점에서 왼쪽으로 뻗는 화살표에 –4i라고 적혀 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The top of half of an ellipse centered at the origin with major axis horizontal and of length 4 and minor axis 2. The point (–2, 0) is marked, and there is an arrow pointing out from it to the left marked –4i.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 36번

# 방향도함수와 기울기벡터그래프·표 해석자동 분류

3.CLP-3 · 2.7절 · 27번대학 수준우리말 번역

$xy$ -평면 위에 있는 호수의 깊이는 $f(x, y) = 32-x^2-4x-4y^2$ 미터이다.

(a) $xy$ -평면에 호수의 해안선을 그리세요.

미적분학 강사님이 점 $(-1, 1)$ 에서 물속에 있다. 다음을 만족하기 위해 강사님이 헤엄쳐야 할 방향을 나타내는 단위벡터를 구하세요.

(a) 같은 깊이를 유지하려면? (b) 깊이가 가능한 한 빠르게 깊어지게 하려면? (즉, 물에 빠질 가능성이 가장 높게 하려면)

영어 원문 보기

The depth of a lake in the $xy$ -plane is equal to $f(x, y) = 32-x^2-4x-4y^2$ meters.

(a) Sketch the shoreline of the lake in the $xy$ -plane.

Your calculus instructor is in the water at the point $(-1, 1)$ . Find a unit vector which indicates in which direction he should swim in order to:

(a) stay at a constant depth? (b) increase his depth as rapidly as possible (i.e. be most likely to drown)?

정답·풀이 보기

(a) 해안선은 $f(x,y)=0$ 또는 $x^2+4x+4y^2=32$ 또는 $(x+2)^2+4y^2=36$ 이고, 이는 $(-2,0)$ 을 중심으로 하고 $x$ 방향의 반축이 $6$ , $y$ 방향의 반축이 $3$ 인 타원이다.

(b,c) $(-1,1)$ 에서 $f$ 의 기울기 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} } f(-1,1)=\big[(-2x-4)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]_{(-1,1)}=-2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

같은 깊이를 유지하려면 깊이의 기울기 벡터에 수직인 방향으로 헤엄쳐야 한다. 따라서 $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4,-1\right>$ 방향으로 헤엄쳐야 한다. 깊이가 가능한 한 빠르게 깊어지게 하려면 깊이의 기울기 벡터 방향으로 헤엄쳐야 하며, 그 방향은 $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1,4\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The shoreline is $f(x,y)=0$ or $x^2+4x+4y^2=32$ or $(x+2)^2+4y^2=36$ , which is an ellipse centred on $(-2,0)$ with semiaxes $6$ in the $x$ -direction and $3$ in the $y$ -direction.

(b,c) The gradient of $f$ at $(-1,1)$ is

${ \boldsymbol{\nabla} } f(-1,1)=\big[(-2x-4)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]_{(-1,1)}=-2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

To remain at constant depth, he should swim perpendicular to the depth gradient. So he should swim in direction $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4,-1\right>$ . To increase his depth as rapidly as possible, he should swim in the direction of the depth gradient, which is $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1,4\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.6절 · 2번

# 방향도함수와 기울기벡터그래프·표 해석보통자동 분류

4.CLP-3 · 2.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

유성이 캐나다 중심부 지역의 땅에 떨어진다. 위성 사진을 이용하여, 그 결과로 생긴 크레이터의 모델

$z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}$

을 만들고, 이 장소를 관광 명소로 바꾸는 계획을 세운다. 주차장은 $(4,5)$ 에 만들고 등산로도 만들 예정이다. 등산로는 주차장에서 시작하여 크레이터 바닥까지 가장 가파른 경로를 따라 간다.

(a) 주차장, 함수 $f$ 의 등고선 몇 개, 그리고 등산로가 분명하게 표시된 계획 부지의 지도를 그리세요. (b) 등산로는 주차장에서 어느 방향으로 출발하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A meteor strikes the ground in the heartland of Canada. Using satellite photographs, a model

$z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}$

of the resulting crater is made and a plan is drawn up to convert the site into a tourist attraction. A car park is to be built at $(4,5)$ and a hiking trail is to be made. The trail is to start at the car park and take the steepest route to the bottom of the crater.

(a) Sketch a map of the proposed site clearly marking the car park, a few level curves for the function $f$ and the trail. (b) In which direction does the trail leave the car park?

정답·풀이 보기

(a)

$z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}$

이므로 크레이터의 바닥은 $x=-1$ , $y=0$ (분모가 최소가 되는 곳)에 있고, 등고선(등위곡선)은 방정식이 $(x+1)^2+4y^2=C$ 인 타원이다. 아래 그림에서 속이 찬 점은 크레이터의 바닥을, 속이 빈 점은 주차장을 나타낸다. 그린 등고선은 (안쪽부터 바깥쪽으로) $z=-7.5, -5, -2.5, -1$ 이다. 등산로가 등고선과 직각으로 만남에 유의한다.

(b) 등산로는

${ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y)$

와 평행하다. 주차장에서는 ${ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right>$ 이다. 크레이터의 바닥을 향해 가려면 $-\left< 1,4\right>$ 방향으로 출발해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

$z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}$

the bottom of the crater is at $x=-1$ , $y=0$ (where the denominator is a minimum) and the contours (level curves) are ellipses having equations $(x+1)^2+4y^2=C$ . In the sketch below, the filled dot represents the bottom of the crater and the open dot represents the car park. The contours sketched are (from inside out) $z=-7.5, -5, -2.5, -1$ . Note that the trail crosses the contour lines at right angles.

(b) The trail is to be parallel to ${ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y)$ At the car park ${ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right>$ . To move towards the bottom of the crater, we should leave in the direction $-\left< 1,4\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 33번

# 방향도함수와 기울기벡터그래프·표 해석도전자동 분류