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방향도함수와 기울기벡터

주어진 방향의 변화율과 가장 빨리 증가하는 방향(기울기벡터)을 구한다

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1문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 2.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

유성이 캐나다 중심부 지역의 땅에 떨어진다. 위성 사진을 이용하여, 그 결과로 생긴 크레이터의 모델

z=f(x,y)=−100x2+2x+4y2+11z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}

을 만들고, 이 장소를 관광 명소로 바꾸는 계획을 세운다. 주차장은 (4,5)(4,5) 에 만들고 등산로도 만들 예정이다. 등산로는 주차장에서 시작하여 크레이터 바닥까지 가장 가파른 경로를 따라 간다.

(a) 주차장, 함수 ff 의 등고선 몇 개, 그리고 등산로가 분명하게 표시된 계획 부지의 지도를 그리세요. (b) 등산로는 주차장에서 어느 방향으로 출발하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A meteor strikes the ground in the heartland of Canada. Using satellite photographs, a model

z=f(x,y)=−100x2+2x+4y2+11z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}

of the resulting crater is made and a plan is drawn up to convert the site into a tourist attraction. A car park is to be built at (4,5)(4,5) and a hiking trail is to be made. The trail is to start at the car park and take the steepest route to the bottom of the crater.

(a) Sketch a map of the proposed site clearly marking the car park, a few level curves for the function ff and the trail. (b) In which direction does the trail leave the car park?

정답·풀이 보기

(a)

z=−100x2+2x+4y2+11=−100(x+1)2+4y2+10z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}

이므로 크레이터의 바닥은 x=−1x=-1, y=0y=0 (분모가 최소가 되는 곳)에 있고, 등고선(등위곡선)은 방정식이 (x+1)2+4y2=C(x+1)^2+4y^2=C 인 타원이다. 아래 그림에서 속이 찬 점은 크레이터의 바닥을, 속이 빈 점은 주차장을 나타낸다. 그린 등고선은 (안쪽부터 바깥쪽으로) z=−7.5,−5,−2.5,−1z=-7.5, -5, -2.5, -1 이다. 등산로가 등고선과 직각으로 만남에 유의한다.

그림

(b) 등산로는

∇z=100(x2+2x+4y2+11)2(2x+2,8y){ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y)

와 평행하다. 주차장에서는 ∇z(4,5)∥<10,40>∥<1,4>{ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right> 이다. 크레이터의 바닥을 향해 가려면 −<1,4>-\left< 1,4\right> 방향으로 출발해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

z=−100x2+2x+4y2+11=−100(x+1)2+4y2+10z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}

the bottom of the crater is at x=−1x=-1, y=0y=0 (where the denominator is a minimum) and the contours (level curves) are ellipses having equations (x+1)2+4y2=C(x+1)^2+4y^2=C. In the sketch below, the filled dot represents the bottom of the crater and the open dot represents the car park. The contours sketched are (from inside out) z=−7.5,−5,−2.5,−1z=-7.5, -5, -2.5, -1. Note that the trail crosses the contour lines at right angles.

figure

(b) The trail is to be parallel to ∇z=100(x2+2x+4y2+11)2(2x+2,8y){ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y) At the car park ∇z(4,5)∥<10,40>∥<1,4>{ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right>. To move towards the bottom of the crater, we should leave in the direction −<1,4>-\left< 1,4\right>.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 33번
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