빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

편도함수

한 변수만 움직여 미분하는 편도함수와 고계 편도함수를 구한다

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2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 2.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

f(x,y)=x2+5y2f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2} 의 모든 이계편도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find all second partial derivatives of f(x,y)=x2+5y2f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2}.

정답·풀이 보기

f(x,y)=x2+5y2f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2} 이라 하자. 그러면

fx=xx2+5y2fxx=1x2+5y2−12(x)(2x)(x2+5y2)3/2fxy=−12(x)(10y)(x2+5y2)3/2fy=5yx2+5y2fyy=5x2+5y2−12(5y)(10y)(x2+5y2)3/2fyx=−12(5y)(2x)(x2+5y2)3/2\begin{aligned} f_x&=\frac{x}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{xx}&=\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(x)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} & f_{xy}&=-\frac{1}{2}\frac{(x)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \\ f_y&=\frac{5y}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{yy}&=\frac{5}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(5y)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}}& f_{yx}&=-\frac{1}{2}\frac{(5y)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \end{aligned}

간단히 하면, 특히 1x2+5y2=x2+5y2(x2+5y2)3/2\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}} =\frac{x^2+5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}} 임을 이용하면,

fxx=5y2(x2+5y2)3/2fxy=fyx=−5xy(x2+5y2)3/2fyy=5x2(x2+5y2)3/2f_{xx}=\frac{5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{xy}=f_{yx}=-\frac{5xy}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{yy}=\frac{5x^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}

원본 교재 풀이(영어)

Let f(x,y)=x2+5y2f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2}. Then

fx=xx2+5y2fxx=1x2+5y2−12(x)(2x)(x2+5y2)3/2fxy=−12(x)(10y)(x2+5y2)3/2fy=5yx2+5y2fyy=5x2+5y2−12(5y)(10y)(x2+5y2)3/2fyx=−12(5y)(2x)(x2+5y2)3/2\begin{aligned} f_x&=\frac{x}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{xx}&=\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(x)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} & f_{xy}&=-\frac{1}{2}\frac{(x)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \\ f_y&=\frac{5y}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{yy}&=\frac{5}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(5y)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}}& f_{yx}&=-\frac{1}{2}\frac{(5y)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \end{aligned}

Simplifying, and in particular using that 1x2+5y2=x2+5y2(x2+5y2)3/2\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}} =\frac{x^2+5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}},

fxx=5y2(x2+5y2)3/2fxy=fyx=−5xy(x2+5y2)3/2fyy=5x2(x2+5y2)3/2f_{xx}=\frac{5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{xy}=f_{yx}=-\frac{5xy}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{yy}=\frac{5x^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 3번
# 편도함수활용보통자동 분류
2.CLP-3 · 2.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

mm 이 양의 정수일 때, f(r,θ)=rmcos⁡mθf(r,\theta)=r^m\cos m\theta 를 rr 과 θ\theta 의 함수라 하자.

(a) 이계편도함수 frrf_{rr}, frθf_{r\theta}, fθθf_{\theta\theta} 를 구하고, (r,θ)=(1,0)(r,\theta)=(1,0) 에서 각각의 값을 구하세요. (b) f(r,θ)f(r,\theta) 가 미분방정식

frr+λrfr+1r2fθθ=0f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}=0

을 만족하도록 실수 λ\lambda 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let f(r,θ)=rmcos⁡mθf(r,\theta)=r^m\cos m\theta be a function of rr and θ\theta, where mm is a positive integer.

(a) Find the second order partial derivatives frrf_{rr}, frθf_{r\theta}, fθθf_{\theta\theta} and evaluate their respective values at (r,θ)=(1,0)(r,\theta)=(1,0). (b) Determine the value of the real number λ\lambda so that f(r,θ)f(r,\theta) satisfies the differential equation

frr+λrfr+1r2fθθ=0f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}=0

정답·풀이 보기

(a) 일계편도함수는 다음과 같다.

fr(r,θ)=mrm−1cos⁡mθfθ(r,θ)=−mrmsin⁡mθf_r(r,\theta)=mr^{m-1}\cos m\theta\qquad f_\theta(r,\theta)=-mr^m\sin m\theta

이계편도함수는 다음과 같다.

frr(r,θ)=m(m−1)rm−2cos⁡mθfrθ(r,θ)=−m2rm−1sin⁡mθfθθ(r,θ)=−m2rmcos⁡mθf_{rr}(r,\theta)=m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta\quad f_{r\theta}(r,\theta)=-m^2r^{m-1}\sin m\theta\quad f_{\theta\theta}(r,\theta)=-m^2r^m\cos m\theta

따라서

frr(1,0)=m(m−1), frθ(1,0)=0, fθθ(1,0)=−m2f_{rr}(1,0)=m(m-1),\ f_{r\theta}(1,0)=0,\ f_{\theta\theta}(1,0)=-m^2

(b) (a)에 의해 식

frr+λrfr+1r2fθθ=m(m−1)rm−2cos⁡mθ+λmrm−2cos⁡mθ−m2rm−2cos⁡mθf_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta} =m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta+\lambda mr^{m-2}\cos m\theta-m^2r^{m-2}\cos m\theta

이 모든 rr 와 θ\theta 에 대해 0이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

m(m−1)+λm−m2=0  ⟺  m(λ−1)=0  ⟺  λ=1m(m-1)+\lambda m-m^2=0\iff m(\lambda -1)=0\iff \lambda =1

원본 교재 풀이(영어)

(a) The first order derivatives are

fr(r,θ)=mrm−1cos⁡mθfθ(r,θ)=−mrmsin⁡mθf_r(r,\theta)=mr^{m-1}\cos m\theta\qquad f_\theta(r,\theta)=-mr^m\sin m\theta

The second order derivatives are

frr(r,θ)=m(m−1)rm−2cos⁡mθfrθ(r,θ)=−m2rm−1sin⁡mθfθθ(r,θ)=−m2rmcos⁡mθf_{rr}(r,\theta)=m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta\quad f_{r\theta}(r,\theta)=-m^2r^{m-1}\sin m\theta\quad f_{\theta\theta}(r,\theta)=-m^2r^m\cos m\theta

so that

frr(1,0)=m(m−1), frθ(1,0)=0, fθθ(1,0)=−m2f_{rr}(1,0)=m(m-1),\ f_{r\theta}(1,0)=0,\ f_{\theta\theta}(1,0)=-m^2

(b) By part (a), the expression

frr+λrfr+1r2fθθ=m(m−1)rm−2cos⁡mθ+λmrm−2cos⁡mθ−m2rm−2cos⁡mθf_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta} =m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta+\lambda mr^{m-2}\cos m\theta-m^2r^{m-2}\cos m\theta

vanishes for all rr and θ\theta if and only if

m(m−1)+λm−m2=0  ⟺  m(λ−1)=0  ⟺  λ=1m(m-1)+\lambda m-m^2=0\iff m(\lambda -1)=0\iff \lambda =1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 5번
# 편도함수활용보통자동 분류