편도함수

(a)

$$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=3x^2y^4z^5 & f_x(0,-1,-1)&=0\\ f_y(x,y,z)&=4x^3y^3z^5 & f_y(0,-1,-1)&=0\\ f_z(x,y,z)&=5x^3y^4z^4 & f_z(0,-1,-1)&=0 \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} w_x(x,y,z)&=\frac{yz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_x(2,0,-1)&=0\\ w_y(x,y,z)&=\frac{xz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_y(2,0,-1)&=-1\\ w_z(x,y,z)&=\frac{xy e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_z(2,0,-1)&=0 \end{aligned}$$

(c)

$$\begin{aligned} f_x(x,y)&=-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_x(-3,4)&=\frac{3}{125}\\ f_y(x,y)&=-\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_y(-3,4)&=-\frac{4}{125} \end{aligned}$$

몫의 미분법에 의해

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^2} &&=\frac{-2y}{(x-y)^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^2} &&=\frac{2x}{(x-y)^2} \end{aligned}$$

따라서

$$x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =\frac{-2xy+2yx}{(x-y)^2} =0$$

(a) $z(x,y)$ 는 다음을 만족시킨다고 주어졌다.

$$\begin{aligned} z(x,y)\, y - y + x = \ln\big(xy\,z(x,y)\big) \tag{$*$}\end{aligned}$$

이는 모든 $(x,y)$ ($(-1,-2)$ 근방)에 대해 성립한다. $(*)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면

$$\begin{aligned} y\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + 1 = \frac{1}{x} + \frac{\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$$

이고, 인수 $(x,y)$ 를 생략한 뒤 분자와 분모에 모두 $xz$ 를 곱하면

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z-xz}{xyz-x} = \frac{z(1-x)}{x(yz-1)} \end{aligned}$$

$(*)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면

$$\begin{aligned} z(x,y)+y\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 1 = \frac{1}{y} + \frac{\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{\frac{1}{y}+1-z(x,y)}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$$

이고, 인수 $(x,y)$ 를 생략한 뒤 분자와 분모에 모두 $yz$ 를 곱하면

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z+yz-yz^2}{y^2z-y} = \frac{z(1+y-yz)}{y(yz-1)} \end{aligned}$$

(b) $(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)$ 일 때,

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-1}-1}{-2-2} =\frac{1}{2} \\ \frac{\partial z}{\partial y}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{y}+1-z}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-2}+1-\frac{1}{2}}{-2-2} =0 \end{aligned}$$

네 변수 $T$, $U$, $V$, $W$ 는 하나의 방정식 $(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2$ 를 만족한다고 하였다. 따라서 이 변수들이 모두 독립인 것은 아니다. 대략 말하면, 이 중 세 변수를 독립변수로 보고, 주어진 방정식을 나머지 한 변수에 대해 선택한 세 독립변수의 함수로 풀 수 있다.

먼저 $\frac{\partial U}{\partial T}$ 를 구하라고 하였다. 이는 $T$, $V$, $W$ 를 독립변수로 보고 $U$ 를 다음을 만족하는 함수 $U(T,V,W)$ 로 보라는 뜻이다.

$$\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) = \ln 2 \tag{E1}$$

이는 $(1, 1, 2, 4)$ 에 충분히 가까운 모든 $(T, U, V, W)$ 에 대해 성립한다. (E1)의 양변을 $T$ 에 대해 미분하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} &2\big(T\, U(T,V,W)-V\big) \left[ U(T,V,W) +T\ \frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\right] \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) \\ & -\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \frac{1}{W-U(T,V,W)\,V}\frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\,V = 0 \end{aligned}$$

특히 $(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4)$ 에서는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ 1 +(1)\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)}\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\,(2) = 0 \end{aligned}$$

이를 간단히 하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} -2\left[ 1 +\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln(2) -\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)=0 \implies \frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4) = -\frac{2\ln(2)}{1+2\ln(2)} \end{aligned}$$

다음으로 $\frac{\partial T}{\partial V}$ 를 구하라고 하였다. 이는 $U$, $V$, $W$ 를 독립변수로 보고 $T$ 를 다음을 만족하는 함수 $T(U,V,W)$ 로 보라는 뜻이다.

$$\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \ln\big(W-U\,V\big) = \ln 2 \tag{E2}$$

이는 $(1, 1, 2, 4)$ 에 충분히 가까운 모든 $(T, U, V, W)$ 에 대해 성립한다. (E2)의 양변을 $V$ 에 대해 미분하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} &2\big(T(U,V,W)\, U-V\big)\ \left[\frac{\partial T}{\partial V}(U,V,W)\ U-1\right] \ln\big(W-U\,V\big) \\ & -\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \frac{U}{W-U\,V} = 0 \end{aligned}$$

특히 $(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4)$ 에서는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ (1)\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)} = 0 \end{aligned}$$

이를 간단히 하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} -2\left[\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln(2) -\frac{1}{2}=0 \implies \frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4) = 1 -\frac{1}{4\ln(2)} \end{aligned}$$

함수

$$\begin{aligned} u(\rho, r,\theta) &= \big[\rho r\cos\theta\big]^2 +\big[\rho r\sin\theta\big] \rho r \\ &=\rho^2 r^2\cos^2\theta +\rho^2 r^2\sin\theta \end{aligned}$$

이므로

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(\rho, r,\theta) &=2 \rho^2 r\cos^2\theta +2 \rho^2 r\sin\theta \end{aligned}$$

이고

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(2, 3,\pi/2) &=2 (2^2) (3) (0)^2 +2 (2^2) (3) (1) =24 \end{aligned}$$

이다.

정의에 의해

$$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \qquad f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$

이다. $x_0=y_0=0$ 을 대입하면

$$\begin{aligned} f_x(0,0)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{((\Delta x)^2-2\times0^2)/(\Delta x-0)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1 =1\\ f_y(0,0)&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{(0^2-2(\Delta y)^2)/(0-\Delta y)}{\Delta y} \\ &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}2 =2 \end{aligned}$$

이다.

(a) 다음과 같다.

$$\begin{aligned} f_x(x,y) &= 2xy^3 & f_{xx}(x,y) &= 2y^3 \\ & & f_{xy}(x,y) &= 6xy^2 & f_{yxy}(x,y) = f_{xyy}(x,y) &= 12xy \end{aligned}$$

(b) 다음과 같다.

$$\begin{aligned} f_x(x,y) &= y^2e^{xy^2} & f_{xx}(x,y) &= y^4e^{xy^2} & f_{xxy}(x,y) &= 4y^3e^{xy^2} + 2xy^5e^{xy^2} \\ & & f_{xy}(x,y) &= 2ye^{xy^2}+2xy^3e^{xy^2} & f_{xyy}(x,y) &= \big(2+4xy^2+6xy^2+4x^2y^4\big)e^{xy^2}\\ & & & & &= \big(2+10xy^2+4x^2y^4\big)e^{xy^2} \end{aligned}$$

(c) 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial u}(u,v,w) &= -\frac{1}{(u+2v+3w)^2} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial u\,\partial v}(u,v,w) &= \frac{4}{(u+2v+3w)^3} \\ \frac{\partial^3 f}{\partial u\,\partial v\,\partial w}(u,v,w) &= -\frac{36}{(u+2v+3w)^4} \end{aligned}$$

특히

$$\begin{aligned} \frac{\partial^3 f}{\partial u\,\partial v\,\partial w}(3,2,1) &= -\frac{36}{(3+2\times 2+3\times 1)^4} = -\frac{36}{10^4} = -\frac{9}{2500} \end{aligned}$$