편도함수 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 3권 · 4.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

이웃한 두 변의 길이가 $a\,\text{와}\,b$ 이고 이 두 변 사이의 끼인각이 $\theta$ 인 평행사변형의 넓이는 함수 $A(a,b,\theta )=ba\,\sin (\theta )$ 로 주어진다. 다음에 대한 평행사변형의 넓이의 변화율을 구하세요.

a. 변 a b. 변 b c. $\text{각}\,\theta$

영어 원문 보기

The area of a parallelogram with adjacent side lengths that are $a\,\text{and}\,b,$ and in which the angle between these two sides is $\theta ,$ is given by the function $A(a,b,\theta )=ba\,\sin (\theta ).$ Find the rate of change of the area of the parallelogram with respect to the following:

a. Side a b. Side b c. $\text{Angle}\,\theta$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 편도함수활용자동 분류

2.OpenStax 3권 · 4.3절 · 45번대학 수준우리말 번역

함수 $P(T,V)=\frac{nRT}{V}$ 는 기체 내 한 점에서의 압력을 온도 $T$ 와 부피 $V$ 의 함수로 나타낸다. 문자 $n\,\text{과}\,R$ 는 상수이다. $\frac{\partial P}{\partial V}$ 와 $\frac{\partial P}{\partial T}$ 를 구하고, 이 값들이 각각 무엇을 나타내는지 설명하세요.

영어 원문 보기

The function $P(T,V)=\frac{nRT}{V}$ gives the pressure at a point in a gas as a function of temperature $T$ and volume $V.$ The letters $n\,\text{and}\,R$ are constants. Find $\frac{\partial P}{\partial V}$ and $\frac{\partial P}{\partial T},$ and explain what these quantities represent.

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# 편도함수활용자동 분류

3.OpenStax 3권 · 4.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

직사각형의 변의 길이가 시간에 따라 변하고 있다고 하자. 첫 번째 변은 초당 $2$ 인치의 비율로 변하고, 두 번째 변은 초당 $4$ 인치의 비율로 변한다. 첫 번째 변의 길이가 $16$ 인치이고 두 번째 변의 길이가 $20$ 인치일 때, 이 직사각형의 대각선은 얼마나 빠르게 변하는지 구하세요. (답을 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요.)

영어 원문 보기

Suppose the sides of a rectangle are changing with respect to time. The first side is changing at a rate of $2$ in./sec whereas the second side is changing at the rate of $4$ in/sec. How fast is the diagonal of the rectangle changing when the first side measures $16$ in. and the second side measures $20$ in.? (Round answer to three decimal places.)

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# 편도함수활용자동 분류

4.OpenStax 3권 · 4.3절 · 51번대학 수준우리말 번역

체감 온도 지수는 온도가 어떻게 느껴지는지를 나타내는 척도이며, 두 변수에 기초한다. 하나는 상대 습도 $h$ 이고 다른 하나는 기온 $t$ 이다.

$A=0.885t-22.4h+1.20th-0.544.$ $t=20^\circ \text{F}$ 이고 $h=0.90$ 일 때 $\frac{\partial A}{\partial t}$ 와 $\frac{\partial A}{\partial h}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The apparent temperature index is a measure of how the temperature feels, and it is based on two variables: $h,$ which is relative humidity, and $t,$ which is the air temperature.

$A=0.885t-22.4h+1.20th-0.544.$ Find $\frac{\partial A}{\partial t}$ and $\frac{\partial A}{\partial h}$ when $t=20^\circ \text{F}$ and $h=0.90.$

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# 편도함수활용자동 분류

5.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 2번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x,y)$ 와 그 모든 이계도함수가 모든 점에서 연속이면 ${f}_{xy}={f}_{yx}$ 이다.

영어 원문 보기

If the function $f(x,y)$ and all its second derivatives are continuous everywhere, then ${f}_{xy}={f}_{yx}.$

정답·풀이 보기

참, 클레로의 정리에 의해

원본 교재 풀이(영어)

True, by Clairaut’s theorem

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 8번

# 편도함수활용자동 분류

6.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 모든 이계 편도함수를 구하세요.

$g(t,x)=3{t}^{2}-\sin (x+t)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find all second partial derivatives.

$g(t,x)=3{t}^{2}-\sin (x+t)$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 44번

# 편도함수활용자동 분류

7.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 모든 이계 편도함수를 구하세요.

$h(x,y,z)=\frac{{x}^{3}{e}^{2y}}{z}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find all second partial derivatives.

$h(x,y,z)=\frac{{x}^{3}{e}^{2y}}{z}$

정답·풀이 보기

${h}_{xx}(x,y,z)=\frac{6x{e}^{2y}}{z},$ ${h}_{xy}(x,y,z)=\frac{6{x}^{2}{e}^{2y}}{z},$ ${h}_{xz}(x,y,z)=-\frac{3{x}^{2}{e}^{2y}}{{z}^{2}},$ ${h}_{yx}(x,y,z)=\frac{6{x}^{2}{e}^{2y}}{z},$ ${h}_{yy}(x,y,z)=\frac{4{x}^{3}{e}^{2y}}{z},$ ${h}_{yz}(x,y,z)=-\frac{2{x}^{3}{e}^{2y}}{{z}^{2}},$ ${h}_{zx}(x,y,z)=-\frac{3{x}^{2}{e}^{2y}}{{z}^{2}},$ ${h}_{zy}(x,y,z)=-\frac{2{x}^{3}{e}^{2y}}{{z}^{2}},$ ${h}_{zz}(x,y,z)=\frac{2{x}^{3}{e}^{2y}}{{z}^{3}}$

원본 교재 풀이(영어)

${h}_{xx}(x,y,z)=\frac{6x{e}^{2y}}{z},$ ${h}_{xy}(x,y,z)=\frac{6{x}^{2}{e}^{2y}}{z},$ ${h}_{xz}(x,y,z)=-\frac{3{x}^{2}{e}^{2y}}{{z}^{2}},$ ${h}_{yx}(x,y,z)=\frac{6{x}^{2}{e}^{2y}}{z},$ ${h}_{yy}(x,y,z)=\frac{4{x}^{3}{e}^{2y}}{z},$ ${h}_{yz}(x,y,z)=-\frac{2{x}^{3}{e}^{2y}}{{z}^{2}},$ ${h}_{zx}(x,y,z)=-\frac{3{x}^{2}{e}^{2y}}{{z}^{2}},$ ${h}_{zy}(x,y,z)=-\frac{2{x}^{3}{e}^{2y}}{{z}^{2}},$ ${h}_{zz}(x,y,z)=\frac{2{x}^{3}{e}^{2y}}{{z}^{3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 16번

# 편도함수활용자동 분류

8.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 26번대학 수준우리말 번역

한 기계공이 알루미늄 덩어리로 직원뿔을 만들고 있다. 기계는 높이에서 $5\%$ , 반지름에서 $2\%$ 의 오차를 낸다. 기계공이 높이 $6$ cm, 반지름 $2$ cm인 원뿔을 만들 때, 원뿔의 부피의 최대 오차를 구하세요.

영어 원문 보기

A machinist is constructing a right circular cone out of a block of aluminum. The machine gives an error of $5\%$ in height and $2\%$ in radius. Find the maximum error in the volume of the cone if the machinist creates a cone of height $6$ cm and radius $2$ cm.

정답·풀이 보기

$2.3228$ cm³

원본 교재 풀이(영어)

$2.3228$ cm³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 20번

# 편도함수활용자동 분류

9.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 27번대학 수준우리말 번역

쓰레기 압축기는 직육면체 모양이다. 쓰레기 압축기가 압축되지 않는 액체로 가득 차 있다고 가정하세요. 길이와 너비가 각각 $2$ ft/sec, $3$ ft/sec의 속도로 감소하고 있다. 길이가 $14$ ft, 너비가 $10$ ft, 높이가 $4$ ft일 때 액체의 높이가 상승하는 속도(변화율)을 구하세요.

영어 원문 보기

A trash compactor is in the shape of a cuboid. Assume the trash compactor is filled with incompressible liquid. The length and width are decreasing at rates of $2$ ft/sec and $3$ ft/sec, respectively. Find the rate at which the liquid level is rising when the length is $14$ ft, the width is $10$ ft, and the height is $4$ ft.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 4번

# 편도함수활용자동 분류

10.CLP-3 · 2.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2}$ 의 모든 이계편도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find all second partial derivatives of $f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2}$ .

정답·풀이 보기

$f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2}$ 이라 하자. 그러면

$\begin{aligned} f_x&=\frac{x}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{xx}&=\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(x)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} & f_{xy}&=-\frac{1}{2}\frac{(x)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \\ f_y&=\frac{5y}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{yy}&=\frac{5}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(5y)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}}& f_{yx}&=-\frac{1}{2}\frac{(5y)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \end{aligned}$

간단히 하면, 특히 $\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}} =\frac{x^2+5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}$ 임을 이용하면,

$f_{xx}=\frac{5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{xy}=f_{yx}=-\frac{5xy}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{yy}=\frac{5x^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}$

원본 교재 풀이(영어)

Let $f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2}$ . Then

$\begin{aligned} f_x&=\frac{x}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{xx}&=\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(x)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} & f_{xy}&=-\frac{1}{2}\frac{(x)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \\ f_y&=\frac{5y}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{yy}&=\frac{5}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(5y)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}}& f_{yx}&=-\frac{1}{2}\frac{(5y)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \end{aligned}$

Simplifying, and in particular using that $\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}} =\frac{x^2+5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}$ ,

$f_{xx}=\frac{5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{xy}=f_{yx}=-\frac{5xy}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{yy}=\frac{5x^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 3번

# 편도함수활용보통자동 분류

11.CLP-3 · 2.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

$m$ 이 양의 정수일 때, $f(r,\theta)=r^m\cos m\theta$ 를 $r$ 과 $\theta$ 의 함수라 하자.

(a) 이계편도함수 $f_{rr}$ , $f_{r\theta}$ , $f_{\theta\theta}$ 를 구하고, $(r,\theta)=(1,0)$ 에서 각각의 값을 구하세요. (b) $f(r,\theta)$ 가 미분방정식

$f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}=0$

을 만족하도록 실수 $\lambda$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(r,\theta)=r^m\cos m\theta$ be a function of $r$ and $\theta$ , where $m$ is a positive integer.

(a) Find the second order partial derivatives $f_{rr}$ , $f_{r\theta}$ , $f_{\theta\theta}$ and evaluate their respective values at $(r,\theta)=(1,0)$ . (b) Determine the value of the real number $\lambda$ so that $f(r,\theta)$ satisfies the differential equation

$f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}=0$

정답·풀이 보기

(a) 일계편도함수는 다음과 같다.

$f_r(r,\theta)=mr^{m-1}\cos m\theta\qquad f_\theta(r,\theta)=-mr^m\sin m\theta$

이계편도함수는 다음과 같다.

$f_{rr}(r,\theta)=m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta\quad f_{r\theta}(r,\theta)=-m^2r^{m-1}\sin m\theta\quad f_{\theta\theta}(r,\theta)=-m^2r^m\cos m\theta$

따라서

$f_{rr}(1,0)=m(m-1),\ f_{r\theta}(1,0)=0,\ f_{\theta\theta}(1,0)=-m^2$

(b) (a)에 의해 식

$f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta} =m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta+\lambda mr^{m-2}\cos m\theta-m^2r^{m-2}\cos m\theta$

이 모든 $r$ 와 $\theta$ 에 대해 0이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

$m(m-1)+\lambda m-m^2=0\iff m(\lambda -1)=0\iff \lambda =1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The first order derivatives are

$f_r(r,\theta)=mr^{m-1}\cos m\theta\qquad f_\theta(r,\theta)=-mr^m\sin m\theta$

The second order derivatives are

$f_{rr}(r,\theta)=m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta\quad f_{r\theta}(r,\theta)=-m^2r^{m-1}\sin m\theta\quad f_{\theta\theta}(r,\theta)=-m^2r^m\cos m\theta$

so that

$f_{rr}(1,0)=m(m-1),\ f_{r\theta}(1,0)=0,\ f_{\theta\theta}(1,0)=-m^2$

(b) By part (a), the expression

$f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta} =m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta+\lambda mr^{m-2}\cos m\theta-m^2r^{m-2}\cos m\theta$

vanishes for all $r$ and $\theta$ if and only if

$m(m-1)+\lambda m-m^2=0\iff m(\lambda -1)=0\iff \lambda =1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 5번

# 편도함수활용보통자동 분류