빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

편도함수

한 변수만 움직여 미분하는 편도함수와 고계 편도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

1문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 2.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

함수 z(x,y)=x+yx−yz(x,y)=\frac{x+y}{x-y} 가 다음을 만족시킴을 보이세요.

x∂z∂x(x,y)+y∂z∂y(x,y)=0x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0

영어 원문 보기

Show that the function z(x,y)=x+yx−yz(x,y)=\frac{x+y}{x-y} obeys

x∂z∂x(x,y)+y∂z∂y(x,y)=0x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0

정답·풀이 보기

몫의 미분법에 의해

∂z∂x(x,y)=(1)(x−y)−(x+y)(1)(x−y)2=−2y(x−y)2∂z∂y(x,y)=(1)(x−y)−(x+y)(−1)(x−y)2=2x(x−y)2\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^2} &&=\frac{-2y}{(x-y)^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^2} &&=\frac{2x}{(x-y)^2} \end{aligned}

따라서

x∂z∂x(x,y)+y∂z∂y(x,y)=−2xy+2yx(x−y)2=0x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =\frac{-2xy+2yx}{(x-y)^2} =0

원본 교재 풀이(영어)

By the quotient rule

∂z∂x(x,y)=(1)(x−y)−(x+y)(1)(x−y)2=−2y(x−y)2∂z∂y(x,y)=(1)(x−y)−(x+y)(−1)(x−y)2=2x(x−y)2\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^2} &&=\frac{-2y}{(x-y)^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^2} &&=\frac{2x}{(x-y)^2} \end{aligned}

Hence

x∂z∂x(x,y)+y∂z∂y(x,y)=−2xy+2yx(x−y)2=0x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =\frac{-2xy+2yx}{(x-y)^2} =0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 11번
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