빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

편도함수

한 변수만 움직여 미분하는 편도함수와 고계 편도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

12문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 4.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

원기둥의 부피를 두 변수의 함수로 나타내세요.

a. 반지름 rr 과 높이 hh로 나타내세요. b. 원기둥의 반지름에 대한 부피의 변화율이 원기둥의 밑면의 둘레와 높이의 곱임을 보이세요. c. 원기둥의 높이에 대한 부피의 변화율이 원형 밑면의 넓이와 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Express the volume of a right circular cylinder as a function of two variables:

a. its radius rr and its height h.h. b. Show that the rate of change of the volume of the cylinder with respect to its radius is the product of its circumference multiplied by its height. c. Show that the rate of change of the volume of the cylinder with respect to its height is equal to the area of the circular base.

정답·풀이 보기

a. V(r,h)=πr2hV(r,h)=\pi {r}^{2}h b. ∂V∂r=2πrh\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi rh c. ∂V∂h=πr2\frac{\partial V}{\partial h}=\pi {r}^{2}

원본 교재 풀이(영어)

a. V(r,h)=πr2hV(r,h)=\pi {r}^{2}h b. ∂V∂r=2πrh\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi rh c. ∂V∂h=πr2\frac{\partial V}{\partial h}=\pi {r}^{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 44번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 4.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

주어진 고계편도함수를 구하세요.

f(x,y,z)=e−2xsin⁡(z2y)f(x,y,z)={e}^{-2x}\sin ({z}^{2}y) 일 때, fxyy=fyxy{f}_{xyy}={f}_{yxy} 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Find the indicated higher-order partial derivatives.

Given f(x,y,z)=e−2xsin⁡(z2y),f(x,y,z)={e}^{-2x}\sin ({z}^{2}y), show that fxyy=fyxy.{f}_{xyy}={f}_{yxy}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 50번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 3권 · 4.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

z=12(ey−e−y)sin⁡ xz=\frac{1}{2}({e}^{y}-{e}^{-y})\sin \,x 가 미분방정식 ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}=0 의 해임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that z=12(ey−e−y)sin⁡ xz=\frac{1}{2}({e}^{y}-{e}^{-y})\sin \,x is a solution of the differential equation ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}=0.

정답·풀이 보기

d2zdx2=−12(ey−e−y)sin⁡ xd2zdy2=12(ey−e−y)sin⁡ xd2zdx2+d2zdy2=0\begin{array}{ccc}\frac{{d}^{2}z}{d{x}^{2}} & = & -\frac{1}{2}({e}^{y}-{e}^{-y})\sin \,x \\ \frac{{d}^{2}z}{d{y}^{2}} & = & \frac{1}{2}({e}^{y}-{e}^{-y})\sin \,x \\ \frac{{d}^{2}z}{d{x}^{2}}+\frac{{d}^{2}z}{d{y}^{2}} & = & 0\end{array}

원본 교재 풀이(영어)

d2zdx2=−12(ey−e−y)sin⁡ xd2zdy2=12(ey−e−y)sin⁡ xd2zdx2+d2zdy2=0\begin{array}{ccc}\frac{{d}^{2}z}{d{x}^{2}} & = & -\frac{1}{2}({e}^{y}-{e}^{-y})\sin \,x \\ \frac{{d}^{2}z}{d{y}^{2}} & = & \frac{1}{2}({e}^{y}-{e}^{-y})\sin \,x \\ \frac{{d}^{2}z}{d{x}^{2}}+\frac{{d}^{2}z}{d{y}^{2}} & = & 0\end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 28번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 3권 · 4.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

주어진 고계 편도함수를 구하세요.

z=exsin⁡ yz={e}^{x}\sin \,y 가 등식 ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}=0 을 만족시킴을 보이세요.

영어 원문 보기

Find the indicated higher-order partial derivatives.

Show that z=exsin⁡ yz={e}^{x}\sin \,y satisfies the equation ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}=0.

정답·풀이 보기

∂2z∂x2+∂2z∂y2=exsin⁡(y)−exsin⁡ y=0\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}={e}^{x}\sin (y)-{e}^{x}\sin \,y=0

원본 교재 풀이(영어)

∂2z∂x2+∂2z∂y2=exsin⁡(y)−exsin⁡ y=0\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}={e}^{x}\sin (y)-{e}^{x}\sin \,y=0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 8번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 3권 · 4.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

주어진 고계 편도함수를 구하세요.

f(x,y)=ln⁡(x2+y2)f(x,y)=\ln ({x}^{2}+{y}^{2}) 가 라플라스 방정식 ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}=0 의 해임을 보이세요.

영어 원문 보기

Find the indicated higher-order partial derivatives.

Show that f(x,y)=ln⁡(x2+y2)f(x,y)=\ln ({x}^{2}+{y}^{2}) solves Laplace’s equation ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}=0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 5번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 3권 · 4.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

주어진 고계 편도함수를 구하세요.

z=e−tcos⁡(xc)z={e}^{-t}\cos \left(\frac{x}{c}\right) 가 열방정식 ∂z∂t=c2(∂2z∂x2)\frac{\partial z}{\partial t}={c}^{2}\left( \frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}} \right) 을 만족시킴을 보이세요.

영어 원문 보기

Find the indicated higher-order partial derivatives.

Show that z=e−tcos⁡(xc)z={e}^{-t}\cos \left(\frac{x}{c}\right) satisfies the heat equation ∂z∂t=c2(∂2z∂x2)\frac{\partial z}{\partial t}={c}^{2}\left( \frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}} \right)

정답·풀이 보기

c2∂2z∂x2=e−tcos⁡(xc){c}^{2}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}={e}^{-t}\cos \left(\frac{x}{c}\right)

원본 교재 풀이(영어)

c2∂2z∂x2=e−tcos⁡(xc){c}^{2}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}={e}^{-t}\cos \left(\frac{x}{c}\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 42번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 3권 · 4.3절 · 46번대학 수준우리말 번역

xy-planexy\text{-plane} 에서 열의 흐름을 나타내는 방정식은 ∂f∂t=∂2f∂x2+∂2f∂y2\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}} 이다. f(x,y,t)=e−2tsin⁡ x sin⁡ yf(x,y,t)={e}^{-2t}\sin \,x\,\sin \,y 가 이 방정식의 해임을 보이세요.

영어 원문 보기

The equation for heat flow in the xy-planexy\text{-plane} is ∂f∂t=∂2f∂x2+∂2f∂y2.\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}. Show that f(x,y,t)=e−2tsin⁡ x sin⁡ yf(x,y,t)={e}^{-2t}\sin \,x\,\sin \,y is a solution.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.3절 · 3번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 3권 · 4.3절 · 47번대학 수준우리말 번역

기본 파동 방정식은 ftt=fxx{f}_{tt}={f}_{xx} 이다. f(x,t)=sin⁡(x+t)f(x,t)=\sin (x+t) 와 f(x,t)=sin⁡(x−t)f(x,t)=\sin (x-t) 가 해임을 확인하세요.

영어 원문 보기

The basic wave equation is ftt=fxx.{f}_{tt}={f}_{xx}. Verify that f(x,t)=sin⁡(x+t)f(x,t)=\sin (x+t) and f(x,t)=sin⁡(x−t)f(x,t)=\sin (x-t) are solutions.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 14번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극한이 존재하면 그 값을 구하세요. 존재하지 않으면 그것을 증명하세요.

lim⁡(x,y)→(1,1)4xyx−2y2\lim_{(x,y)\to (1,1)}\frac{4xy}{x-2{y}^{2}}

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the following limits, if they exist. If they do not exist, prove it.

lim⁡(x,y)→(1,1)4xyx−2y2\lim_{(x,y)\to (1,1)}\frac{4xy}{x-2{y}^{2}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 18번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극한이 존재하면 그 값을 구하세요. 존재하지 않으면 그것을 증명하세요.

lim⁡(x,y)→(0,0)4xyx−2y2\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{4xy}{x-2{y}^{2}}

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the following limits, if they exist. If they do not exist, prove it.

lim⁡(x,y)→(0,0)4xyx−2y2\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{4xy}{x-2{y}^{2}}

정답·풀이 보기

존재하지 않는다

원본 교재 풀이(영어)

Does not exist

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.3절 · 1번
# 편도함수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.CLP-3 · 2.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

함수 z(x,y)=x+yx−yz(x,y)=\frac{x+y}{x-y} 가 다음을 만족시킴을 보이세요.

x∂z∂x(x,y)+y∂z∂y(x,y)=0x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0

영어 원문 보기

Show that the function z(x,y)=x+yx−yz(x,y)=\frac{x+y}{x-y} obeys

x∂z∂x(x,y)+y∂z∂y(x,y)=0x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0

정답·풀이 보기

몫의 미분법에 의해

∂z∂x(x,y)=(1)(x−y)−(x+y)(1)(x−y)2=−2y(x−y)2∂z∂y(x,y)=(1)(x−y)−(x+y)(−1)(x−y)2=2x(x−y)2\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^2} &&=\frac{-2y}{(x-y)^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^2} &&=\frac{2x}{(x-y)^2} \end{aligned}

따라서

x∂z∂x(x,y)+y∂z∂y(x,y)=−2xy+2yx(x−y)2=0x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =\frac{-2xy+2yx}{(x-y)^2} =0

원본 교재 풀이(영어)

By the quotient rule

∂z∂x(x,y)=(1)(x−y)−(x+y)(1)(x−y)2=−2y(x−y)2∂z∂y(x,y)=(1)(x−y)−(x+y)(−1)(x−y)2=2x(x−y)2\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^2} &&=\frac{-2y}{(x-y)^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^2} &&=\frac{2x}{(x-y)^2} \end{aligned}

Hence

x∂z∂x(x,y)+y∂z∂y(x,y)=−2xy+2yx(x−y)2=0x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =\frac{-2xy+2yx}{(x-y)^2} =0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 11번
# 편도함수증명·논술보통자동 분류
12.CLP-3 · 2.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

α>0\alpha >0 를 상수라 하자. u(x,y,z,t)=1t3/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\displaystyle u(x,y,z,t) =\frac{1}{t^{3/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} 가 열방정식

ut=α(uxx+uyy+uzz)u_t = \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big)

을 모든 t>0t>0 에 대해 만족함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let α>0\alpha >0 be a constant. Show that u(x,y,z,t)=1t3/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\displaystyle u(x,y,z,t) =\frac{1}{t^{3/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} satisfies the heat equation

ut=α(uxx+uyy+uzz)u_t = \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big)

for all t>0t>0

정답·풀이 보기

ut(x,y,z,t)=−321t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+14α t7/2(x2+y2+z2)e−(x2+y2+z2)/(4αt)ux(x,y,z,t)=−x2α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uxx(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uyy(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+y24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uzz(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+z24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\begin{aligned} u_t(x,y,z,t) &=-\frac{3}{2}\frac{1}{t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{1}{4\alpha \,t^{7/2}}(x^2+y^2+z^2) e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_x(x,y,z,t) &=-\frac{x}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{xx}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{yy}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{y^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{zz}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{z^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \end{aligned}

이므로 다음을 얻는다.

α(uxx+uyy+uzz)=−32 t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x2+y2+z24α t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)=ut\begin{aligned} \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big) &=-\frac{3}{2\,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2+y^2+z^2}{4\alpha \,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} =u_t \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

As

ut(x,y,z,t)=−321t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+14α t7/2(x2+y2+z2)e−(x2+y2+z2)/(4αt)ux(x,y,z,t)=−x2α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uxx(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uyy(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+y24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uzz(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+z24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\begin{aligned} u_t(x,y,z,t) &=-\frac{3}{2}\frac{1}{t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{1}{4\alpha \,t^{7/2}}(x^2+y^2+z^2) e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_x(x,y,z,t) &=-\frac{x}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{xx}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{yy}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{y^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{zz}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{z^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \end{aligned}

we have

α(uxx+uyy+uzz)=−32 t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x2+y2+z24α t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)=ut\begin{aligned} \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big) &=-\frac{3}{2\,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2+y^2+z^2}{4\alpha \,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} =u_t \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 6번
# 편도함수증명·논술도전자동 분류