빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

편도함수

한 변수만 움직여 미분하는 편도함수와 고계 편도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

1문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 2.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

α>0\alpha >0 를 상수라 하자. u(x,y,z,t)=1t3/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\displaystyle u(x,y,z,t) =\frac{1}{t^{3/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} 가 열방정식

ut=α(uxx+uyy+uzz)u_t = \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big)

을 모든 t>0t>0 에 대해 만족함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let α>0\alpha >0 be a constant. Show that u(x,y,z,t)=1t3/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\displaystyle u(x,y,z,t) =\frac{1}{t^{3/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} satisfies the heat equation

ut=α(uxx+uyy+uzz)u_t = \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big)

for all t>0t>0

정답·풀이 보기

ut(x,y,z,t)=−321t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+14α t7/2(x2+y2+z2)e−(x2+y2+z2)/(4αt)ux(x,y,z,t)=−x2α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uxx(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uyy(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+y24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uzz(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+z24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\begin{aligned} u_t(x,y,z,t) &=-\frac{3}{2}\frac{1}{t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{1}{4\alpha \,t^{7/2}}(x^2+y^2+z^2) e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_x(x,y,z,t) &=-\frac{x}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{xx}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{yy}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{y^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{zz}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{z^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \end{aligned}

이므로 다음을 얻는다.

α(uxx+uyy+uzz)=−32 t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x2+y2+z24α t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)=ut\begin{aligned} \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big) &=-\frac{3}{2\,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2+y^2+z^2}{4\alpha \,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} =u_t \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

As

ut(x,y,z,t)=−321t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+14α t7/2(x2+y2+z2)e−(x2+y2+z2)/(4αt)ux(x,y,z,t)=−x2α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uxx(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uyy(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+y24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uzz(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+z24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\begin{aligned} u_t(x,y,z,t) &=-\frac{3}{2}\frac{1}{t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{1}{4\alpha \,t^{7/2}}(x^2+y^2+z^2) e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_x(x,y,z,t) &=-\frac{x}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{xx}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{yy}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{y^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{zz}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{z^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \end{aligned}

we have

α(uxx+uyy+uzz)=−32 t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x2+y2+z24α t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)=ut\begin{aligned} \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big) &=-\frac{3}{2\,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2+y^2+z^2}{4\alpha \,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} =u_t \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 6번
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