빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 극한값 계산

∞/∞·∞−∞ 꼴, 대소 관계를 이용해 수열의 극한값을 구한다

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 23번우리말 풀이

lim⁡n→∞an=1\lim_{n\to\infty}a_n=1, lim⁡n→∞bn=−1\lim_{n\to\infty}b_n=-1 이고 모든 nn 에서 0<−bn<an0<-b_n<a_n 이라고 합시다. 다음 각 극한을 구하거나, 극한이 존재하지 않는다고 하거나, 극한이 존재하는지 판단하기에 정보가 부족하다고 답하세요.

lim⁡n→∞(3an−4bn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}(3a_n-4b_n)

영어 원문 보기

Suppose that lim⁡n→∞an=1,\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1, lim⁡n→∞bn=−1,\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1, and 0<−bn<an0<-{b}_{n}<{a}_{n} for all n.n. Evaluate each of the following limits, or state that the limit does not exist, or state that there is not enough information to determine whether the limit exists.

lim⁡n→∞(3an−4bn)\lim_{n\to \infty }(3{a}_{n}-4{b}_{n})

답 쓰고 채점
풀이 보기

두 수열이 각각 수렴하면, 합·차·상수배의 극한은 극한값끼리 계산하면 돼요.

  1. 1

    극한의 성질을 떠올려요. lim⁡an\lim a_n 과 lim⁡bn\lim b_n 이 모두 존재하면 lim⁡(pan+qbn)=plim⁡an+qlim⁡bn\lim(pa_n+qb_n)=p\lim a_n+q\lim b_n 이에요.

  2. 2

    값을 넣어요. lim⁡n→∞(3an−4bn)=3⋅1−4⋅(−1)=3+4=7\lim_{n\to\infty}(3a_n-4b_n)=3\cdot1-4\cdot(-1)=3+4=7

  3. 3

    조건 0<−bn<an0<-b_n<a_n 는 이 문제에서 쓰이지 않아요. 다른 소문항(예: 비의 극한)에서 쓰이는 조건이에요.

답

77

자주 하는 실수

−4bn-4b_n 의 부호를 놓쳐 3−4=−13-4=-1 로 계산하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

77

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 47번
# 수열의 극한값 계산계산기본
2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 47번우리말 풀이

다음 수열의 극한값을 구하거나 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한값을 구하세요.

an=(2n)1/n−n1/na_n=(2n)^{1/n}-n^{1/n}

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=(2n)1/n−n1/n{a}_{n}={(2n)}^{1/n}-{n}^{1/n}

풀이 보기

(2n)1/n=21/n⋅n1/n(2n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot n^{1/n} 으로 나누면, 알려진 극한 n1/n→1n^{1/n}\to1 로 계산할 수 있어요.

  1. 1

    식을 풀어 써요. 지수법칙으로 (2n)1/n=21/n n1/n(2n)^{1/n}=2^{1/n}\,n^{1/n} 이니까 an=21/n n1/n−n1/n=n1/n(21/n−1)a_n=2^{1/n}\,n^{1/n}-n^{1/n}=n^{1/n}\left(2^{1/n}-1\right)

  2. 2

    각 부분의 극한을 구해요. n→∞n\to\infty 일 때 1n→0\dfrac1n\to0 이므로 21/n→20=12^{1/n}\to2^0=1 이에요. 또 ln⁡n1/n=ln⁡nn→0\ln n^{1/n}=\dfrac{\ln n}{n}\to0 이라(로그는 nn 보다 훨씬 느리게 커져요) n1/n→e0=1n^{1/n}\to e^0=1 이에요.

  3. 3

    극한의 곱의 성질을 써요. lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞n1/n⋅lim⁡n→∞(21/n−1)=1⋅(1−1)=0\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(2^{1/n}-1\right)=1\cdot(1-1)=0 (다르게 보면 (2n)1/n→1(2n)^{1/n}\to1, n1/n→1n^{1/n}\to1 이니 차가 00 이에요.)

답

수렴하고 lim⁡n→∞an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0

자주 하는 실수

n1/nn^{1/n} 에서 n→∞n\to\infty 이니 ∞0\infty^0 꼴이라 "발산"이라고 단정하는 실수가 있어요(실제로는 1에 수렴).

원본 교재 풀이(영어)

n1/n→1{n}^{1/n}\to 1 and 21/n→1,{2}^{1/n}\to 1, so an→0{a}_{n}\to 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 23번
# 수열의 극한값 계산계산보통