빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

급수의 수렴과 발산

부분합의 극한으로 급수의 합을 구하고, aₙ→0 조건으로 발산을 판단한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

∑n=1∞1n+1000\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1000} (힌트: 인덱스를 바꾸어 다시 쓰세요.)

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

∑n=1∞1n+1000\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1000} (Hint: Rewrite using a change of index.)

풀이 보기

처음 몇 개의 항을 없애도 급수의 수렴·발산은 변하지 않아요. 그래서 알려진 조화급수와 같아져요.

  1. 1

    인덱스를 바꿔요. m=n+1000m=n+1000 으로 두면 n=1n=1 일 때 m=1001m=1001 이에요. ∑n=1∞1n+1000=∑m=1001∞1m\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1000}=\sum_{m=1001}^{\infty}\frac1m 조화급수 ∑m=1∞1m\sum_{m=1}^\infty\frac1m 에서 처음 10001000 개 항을 뺀 급수예요.

  2. 2

    조화급수는 발산해요. 항들을 12\dfrac12 이상씩 묶을 수 있어요. 예를 들어 13+14>14+14=12,15+⋯+18>48=12, …\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,\quad \frac15+\cdots+\frac18>\frac48=\frac12,\ \ldots 이렇게 묶을 때마다 12\frac12 보다 큰 값이 계속 더해져서 합이 한없이 커져요.

  3. 3

    결론을 내려요. 유한 개의 항을 더하거나 빼도 수렴·발산은 바뀌지 않으므로 이 급수도 발산해요. (각 항이 00 으로 가는데도 발산한다는 점에 주의하세요.)

답

발산한다 (∑n=1001∞1n\displaystyle\sum_{n=1001}^{\infty}\frac1n 과 같음)

자주 하는 실수

일반항이 00 으로 가니 수렴한다고 판단하는 실수가 많아요(그것은 수렴의 필요조건일 뿐이에요).

원본 교재 풀이(영어)

diverges, ∑n=1001∞1n\sum_{n=1001}^{\infty }\frac{1}{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번
# 급수의 수렴과 발산개념 확인보통
2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번우리말 풀이

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 nn항까지의 부분합을 구하세요.

∑n=1∞ln⁡(nn+1)\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

∑n=1∞ln⁡(nn+1)\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

풀이 보기

로그의 나눗셈은 뺄셈으로 바꿀 수 있어서, 항을 늘어놓으면 가운데 항들이 줄줄이 사라져요.

  1. 1

    먼저 로그의 성질 ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b 를 써서 일반항을 뺄셈 꼴로 바꿔요.

    ln⁡(nn+1)=ln⁡n−ln⁡(n+1)\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1)

    그래서 급수는 ∑n=1∞(ln⁡n−ln⁡(n+1))\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big) 로 쓸 수 있어요.

  2. 2

    부분합 SkS_k 는 처음 kk 개의 항을 더한 값이에요. 왜 이렇게 쓰냐면, 항을 직접 늘어놓아야 무엇이 소거되는지 보이기 때문이에요.

    Sk=(ln⁡1−ln⁡2)+(ln⁡2−ln⁡3)+(ln⁡3−ln⁡4)+⋯+(ln⁡k−ln⁡(k+1))S_k=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln k-\ln(k+1))

  3. 3

    이웃한 항끼리 −ln⁡2-\ln 2 와 +ln⁡2+\ln 2, −ln⁡3-\ln 3 와 +ln⁡3+\ln 3 처럼 서로 지워져요. 남는 것은 맨 앞의 ln⁡1\ln 1 과 맨 뒤의 −ln⁡(k+1)-\ln(k+1) 뿐이에요.

  4. 4

    ln⁡1=0\ln 1=0 이므로 부분합은 다음과 같아요.

    Sk=ln⁡1−ln⁡(k+1)=−ln⁡(k+1)S_k=\ln 1-\ln(k+1)=-\ln(k+1)

    참고로 k→∞k\to\infty 이면 Sk→−∞S_k\to-\infty 이므로 이 급수는 발산해요.

답

∑n=1∞(ln⁡n−ln⁡(n+1))\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big),   Sk=−ln⁡(k+1)\;S_k=-\ln(k+1)

자주 하는 실수

ln⁡1\ln 1 을 11 로 착각하면 안 돼요. ln⁡1=0\ln 1=0 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

∑n=1∞ln⁡n−ln⁡(n+1),Sk=−ln⁡(k+1)\sum_{n=1}^{\infty }\ln n-\ln (n+1),{S}_{k}=-\ln (k+1)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번
# 급수의 수렴과 발산계산보통