문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

급수의 수렴과 발산

부분합의 극한으로 급수의 합을 구하고, aₙ→0 조건으로 발산을 판단한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번우리말 풀이

일반적인 망원급수란, 연속한 항들을 어느 정도 더하고 나면 처음 몇 항을 빼고는 모두 지워지는 급수입니다.

$a_n=f(n)-2f(n+1)+f(n+2)$ 이고 $n\to\infty$ 일 때 $f(n)\to0$ 이라고 합시다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Let ${a}_{n}=f(n)-2f(n+1)+f(n+2),$ in which $f(n)\to 0$ as $n\to \infty .$ Find $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}.$

풀이 보기

$a_n$ 을 "앞뒤가 지워지는 차"의 꼴로 바꾸면 부분합이 몇 개 항만 남아요.

1
$a_n$ 을 두 개의 차로 나눠요. $-2f(n+1)=-f(n+1)-f(n+1)$ 이므로 $a_n=\big[f(n)-f(n+1)\big]-\big[f(n+1)-f(n+2)\big]$
2
부분합 $S_N$ 을 써요. 각 대괄호를 따로 더하면 이웃한 항이 지워져요. $\sum_{n=1}^N\big[f(n)-f(n+1)\big]=f(1)-f(N+1),\qquad \sum_{n=1}^N\big[f(n+1)-f(n+2)\big]=f(2)-f(N+2)$ $S_N=f(1)-f(N+1)-f(2)+f(N+2)$
3
$N\to\infty$ 로 보내요. $f(N+1)\to0$ , $f(N+2)\to0$ 이므로 $\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N=f(1)-f(2)$

답

$f(1)-f(2)$

자주 하는 실수

두 번째 대괄호의 부호를 놓쳐 $f(1)+f(2)$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=f(1)-f(2)$

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번우리말 풀이

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 짝수 번째 던지기에서일 확률을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the probability that a fair coin will come up heads for the second time after an even number of flips.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$n$ 번째에서 두 번째 앞면이 나올 확률을 식으로 쓰고, 짝수 $n$ 에 대해 모두 더하면 급수가 돼요.

1
$n$ 번째 던지기에서 두 번째 앞면이 나오려면, 앞의 $n-1$ 번 중 앞면이 정확히 1번이고 $n$ 번째가 앞면이어야 해요. 앞면이 나올 자리를 고르는 방법이 $n-1$ 가지이므로 확률은 다음과 같아요.

$P(n)=(n-1)\left(\frac12\right)^{n}$
2
짝수 번째만 모으면 되니까 $n=2m$ ( $m=1,2,3,\dots$ ) 으로 놓아요.

$P(2m)=\frac{2m-1}{2^{2m}}=\frac{2m-1}{4^{m}}$

구하는 확률은 $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}$ 이에요.
3
식을 둘로 쪼개요. 각각 계산하기 쉬운 급수가 되기 때문이에요.

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}=2\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac14\right)^{m}-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{m}$
4
$|x|<1$ 일 때 $\sum_{m=1}^{\infty}x^m=\frac{x}{1-x}$ 이고 $\sum_{m=1}^{\infty}m x^m=\frac{x}{(1-x)^2}$ 이에요. $x=\frac14$ 를 넣으면

$\sum m\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{(3/4)^2}=\frac49,\qquad \sum\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$
5
따라서 확률은 다음과 같아요.

$2\cdot\frac49-\frac13=\frac89-\frac39=\frac59$

답

$\dfrac59$

자주 하는 실수

두 번째 앞면이 나오는 확률을 $\left(\frac12\right)^n$ 으로만 쓰고 앞의 $n-1$ 번 중 앞면 자리를 고르는 경우의 수 $(n-1)$ 을 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$5/9$