급수의 수렴과 발산 연습문제

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번우리말 풀이

일반적인 망원급수란, 연속한 항들을 어느 정도 더하고 나면 처음 몇 항을 빼고는 모두 지워지는 급수입니다.

$a_n=f(n)-2f(n+1)+f(n+2)$ 이고 $n\to\infty$ 일 때 $f(n)\to0$ 이라고 합시다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Let ${a}_{n}=f(n)-2f(n+1)+f(n+2),$ in which $f(n)\to 0$ as $n\to \infty .$ Find $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}.$

풀이 보기

$a_n$ 을 "앞뒤가 지워지는 차"의 꼴로 바꾸면 부분합이 몇 개 항만 남아요.

1
$a_n$ 을 두 개의 차로 나눠요. $-2f(n+1)=-f(n+1)-f(n+1)$ 이므로 $a_n=\big[f(n)-f(n+1)\big]-\big[f(n+1)-f(n+2)\big]$
2
부분합 $S_N$ 을 써요. 각 대괄호를 따로 더하면 이웃한 항이 지워져요. $\sum_{n=1}^N\big[f(n)-f(n+1)\big]=f(1)-f(N+1),\qquad \sum_{n=1}^N\big[f(n+1)-f(n+2)\big]=f(2)-f(N+2)$ $S_N=f(1)-f(N+1)-f(2)+f(N+2)$
3
$N\to\infty$ 로 보내요. $f(N+1)\to0$ , $f(N+2)\to0$ 이므로 $\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N=f(1)-f(2)$

답

$f(1)-f(2)$

자주 하는 실수

두 번째 대괄호의 부호를 놓쳐 $f(1)+f(2)$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=f(1)-f(2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번

# 급수의 수렴과 발산계산도전

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번우리말 풀이

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 짝수 번째 던지기에서일 확률을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the probability that a fair coin will come up heads for the second time after an even number of flips.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$n$ 번째에서 두 번째 앞면이 나올 확률을 식으로 쓰고, 짝수 $n$ 에 대해 모두 더하면 급수가 돼요.

1
$n$ 번째 던지기에서 두 번째 앞면이 나오려면, 앞의 $n-1$ 번 중 앞면이 정확히 1번이고 $n$ 번째가 앞면이어야 해요. 앞면이 나올 자리를 고르는 방법이 $n-1$ 가지이므로 확률은 다음과 같아요.

$P(n)=(n-1)\left(\frac12\right)^{n}$
2
짝수 번째만 모으면 되니까 $n=2m$ ( $m=1,2,3,\dots$ ) 으로 놓아요.

$P(2m)=\frac{2m-1}{2^{2m}}=\frac{2m-1}{4^{m}}$

구하는 확률은 $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}$ 이에요.
3
식을 둘로 쪼개요. 각각 계산하기 쉬운 급수가 되기 때문이에요.

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}=2\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac14\right)^{m}-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{m}$
4
$|x|<1$ 일 때 $\sum_{m=1}^{\infty}x^m=\frac{x}{1-x}$ 이고 $\sum_{m=1}^{\infty}m x^m=\frac{x}{(1-x)^2}$ 이에요. $x=\frac14$ 를 넣으면

$\sum m\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{(3/4)^2}=\frac49,\qquad \sum\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$
5
따라서 확률은 다음과 같아요.

$2\cdot\frac49-\frac13=\frac89-\frac39=\frac59$

답

$\dfrac59$

자주 하는 실수

두 번째 앞면이 나오는 확률을 $\left(\frac12\right)^n$ 으로만 쓰고 앞의 $n-1$ 번 중 앞면 자리를 고르는 경우의 수 $(n-1)$ 을 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$5/9$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번

# 급수의 수렴과 발산활용도전

3.CLP-2 · 3.2절 · 29번우리말 번역

무한히 긴 평평한 절벽에 질량을 무시할 수 있는 가는 철사에 매달린 돌들이 있다. 위치 $x=1$ 에서 시작하여, 1미터마다(위치 $x$ 에서, 여기서 $x$ 는 0 이상의 정수) 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 절벽 꼭대기에서 $2^x$ 미터 아래에 매달려 있다.

영어 원문 보기

An infinitely long, flat cliff has stones hanging off it, attached to thin wire of negligible mass. Starting at position $x=1$ , every metre (at position $x$ , where $x$ is some whole number) the stone has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg and is hanging $2^x$ metres below the top of the cliff.

답 쓰고 채점

J

정답·풀이 보기

위치 $x$ 에 있는 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 이 돌을 $2^x$ 미터만큼 끌어올려야 하므로, 돌 하나를 옮기는 데 필요한 일은 $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ 이다. 따라서 모든 돌을 옮기는 데 필요한 일은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{x=1}^{\infty}\frac{9.8}{2^x}& =\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2^{x+1}}\\ &=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{2^{x}} =\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac12}=9.8 \text{ J} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The stone at position $x$ has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg, and we have to pull it a distance of $2^x$ metres, so the work involved in moving that one stone is $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ Therefore, the work to move all the stones is:

$\begin{aligned} \sum_{x=1}^{\infty}\frac{9.8}{2^x}& =\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2^{x+1}}\\ &=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{2^{x}} =\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac12}=9.8 \text{ J} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 69번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류

4.CLP-2 · 3.2절 · 33번우리말 번역

다음 방법으로 과녁을 만드세요.

넓이가 1인 빨간 원에서 시작하여, 반지름을 3등분해서 두 개의 고리와 하나의 원을 만든다. 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

안쪽 원에 대해서도 같은 방식을 계속한다. 그 반지름을 3등분하고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

이와 같이 끝없이 계속한다. 가장 안쪽 원의 반지름을 3등분하여 두 개의 고리와 또 하나의 원을 만들고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

빨간색 부분의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Create a bullseye using the following method:

Starting with a red circle of area 1, divide the radius into thirds, creating two rings and a circle. Colour the middle ring blue.

Continue the pattern with the inside circle: divide its radius into thirds, and colour the middle ring blue.

Continue in this way indefinitely: dividing the radius of the innermost circle into thirds, creating two rings and another circle, and colouring the middle ring blue.

What is the area of the red portion?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

반지름이 $R$ 인 원을 생각하자. 이 원에는 $\frac{R}{3}$ 에서 $\frac{2R}{3}$ 까지의 “안쪽 고리"와 $\frac{2R}{3}$ 에서 $R$ 까지의 “바깥쪽 고리"가 있다.

바깥쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

안쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

따라서 바깥쪽 고리의 넓이에 대한 안쪽 고리의 넓이의 비는 $\frac{3}{5}$ 이다.

과녁 그림에서 빨간 고리와 그 바로 안쪽에 있는 파란 고리를 짝지으면, 파란 고리의 넓이는 빨간 고리 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다. 그러므로 과녁의 파란색 부분의 넓이는 빨간색 부분 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다.

원의 넓이가 1이므로, 빨간색 부분의 넓이를 $A$ 라 하면 $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$ 이다.

따라서 빨간색 부분의 넓이는 $\frac{5}{8}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We consider a circle of radius $R$ , with an “inner ring" from $\frac{R}{3}$ to $\frac{2R}{3}$ and an “outer ring" from $\frac{2R}{3}$ to $R$ .

The area of the outer ring is: $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

The area of the inner ring is: $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

So, the ratio of the inner ring's area to the outer ring's area is $\frac{3}{5}$ .

In our bullseye diagram, if we pair up any red ring with the blue ring just inside it, the blue ring has $\frac{3}{5}$ the area of the red ring. So, the blue portion of the bullseye has $\frac{3}{5}$ the area of the red portion.

Since the circle has area 1, if we let the red portion have area $A$ , then $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$

So, the red portion has area $\frac{5}{8}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 27번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류