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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

벡터 미적분 전체 문제

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2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-4 · 2.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

벡터장 v(x,y)=x ı^+y ȷ^\mathbf{v}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

가 움직이는 유체의 속도장이라고 하자.

(a) 시각 00 에 점 (1,1)(1,1) 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 t=0.01t=0.01 에서 나뭇가지의 대략적인 위치는 어디인지 구하세요. (b) 시각 00 에 점 (0,0)(0,0) 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 t=0.01t=0.01 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요. (c) 시각 00 에 점 (0,0)(0,0) 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 t=10t=10 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

Imagine that the vector field v(x,y)=x ı^+y ȷ^\mathbf{v}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

is the velocity field of a moving fluid.

(a) At time 00 you drop a twig into the fluid at the point (1,1)(1,1). What is the approximate position of the twig at time t=0.01t=0.01? (b) At time 00 you drop a twig into the fluid at the point (0,0)(0,0). What is the position of the twig at time t=0.01t=0.01? (c) At time 00 you drop a twig into the fluid at the point (0,0)(0,0). What is the position of the twig at time t=10t=10?

답 쓰고 채점
(a)
(b)
(c)
정답·풀이 보기

(a) 시각 00 에서 나뭇가지의 속도는 v(1,1)=ı^+ȷ^\mathbf{v}(1,1) =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이다. 따라서 시각 t=0.01t=0.01 에서 나뭇가지의 위치는 대략

(1,1)+0.01(1,1)=(1.01 , 1.01)(1,1) + 0.01(1,1) = (1.01\,,\,1.01)

이다.

(b) 시각 00 에서 나뭇가지의 속도는 v(0,0)=0\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0} 이다. 따라서 시각 t=0.01t=0.01 에서 나뭇가지의 위치는

(0,0)+0.01(0,0)=(0 , 0)(0,0) + 0.01(0,0) = (0\,,\,0)

이다.

(c) 시각 00 에서 나뭇가지의 속도는 v(0,0)=0\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0} 이다. 따라서 나뭇가지는 정지해 있고 속도는 모든 시각에서 0으로 유지된다. 시각 1010 에서, 그리고 사실 모든 시각에서 나뭇가지의 위치는 (0 , 0)(0\,,\,0) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) At time 00 the velocity of the twig is v(1,1)=ı^+ȷ^\mathbf{v}(1,1) =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}. So at time t=0.01t=0.01, the position of the twig is approximately

(1,1)+0.01(1,1)=(1.01 , 1.01)(1,1) + 0.01(1,1) = (1.01\,,\,1.01)

(b) At time 00 the velocity of the twig is v(0,0)=0\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}. So at time t=0.01t=0.01, the position of the twig is

(0,0)+0.01(0,0)=(0 , 0)(0,0) + 0.01(0,0) = (0\,,\,0)

(c) At time 00 the velocity of the twig is v(0,0)=0\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}. So it is stationary and its velocity remains zero for all time. The position of the twig at time 1010, and in fact at all times, is (0 , 0)(0\,,\,0).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 11번
# 벡터장과 흐름선활용기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.CLP-4 · 2.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

벡터장 v(x,y)=2x ı^−ȷ^\mathbf{v}(x,y) = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}

가 움직이는 유체의 속도장이라고 하자. 시각 00 에 점 (0,0)(0,0) 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 t=10t=10 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

Imagine that the vector field v(x,y)=2x ı^−ȷ^\mathbf{v}(x,y) = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}

is the velocity field of a moving fluid. At time 00 you drop a twig into the fluid at the point (0,0)(0,0). What is the position of the twig at time t=10t=10?

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

yy축 위의 모든 점에서 유체의 속도는 −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이다. 따라서 나뭇가지는 yy축 위에 머물며 결과적으로 모든 시각에서 속도 −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} 를 갖는다. 시각 1010 에서 나뭇가지의 위치는

(0,0)+10(0,−1)=(0 , −10)(0,0)+10(0,-1) = (0\,,\,-10)

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity of the fluid at all points of the yy-axis is −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}}. So the twig will remain on the yy-axis and will consequently have velocity −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} for all time. The position of the twig at time 1010 will be

(0,0)+10(0,−1)=(0 , −10)(0,0)+10(0,-1) = (0\,,\,-10)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 14번
# 벡터장과 흐름선활용기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)