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뉴턴 방법

접선을 되풀이해 방정식의 근을 수치로 찾는다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

1문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 55번우리말 풀이

뉴턴 방법은 f(x)=0f(x)=0 의 해를 어림하는 방법으로, 처음 근삿값 x0x_0 에서 출발하여 xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} 로 수열을 차례로 정합니다. 주어진 ff 와 x0x_0 에 대하여 xn+1x_{n+1} 의 식을 쓰세요. 수열이 수렴하는 것으로 보이면 해 xx 의 정확한 식을 구하고, xx 를 소수 넷째 자리까지 구한 뒤, xnx_n 이 xx 와 소수 넷째 자리까지 같아지는 가장 작은 nn 을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=(x−1)2−2, x0=2f(x)=(x-1)^2-2,\ x_0=2

영어 원문 보기

Newton’s method seeks to approximate a solution f(x)=0f(x)=0 that starts with an initial approximation x0{x}_{0} and successively defines a sequence xn+1=xn−f(xn)f′(xn).{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})}. For the given choice of ff and x0,{x}_{0}, write out the formula for xn+1.{x}_{n+1}. If the sequence appears to converge, give an exact formula for the solution x,x, then identify the limit xx accurate to four decimal places and the smallest nn such that xn{x}_{n} agrees with xx up to four decimal places.

[T] f(x)=(x−1)2−2,f(x)={(x-1)}^{2}-2, x0=2{x}_{0}=2

답 쓰고 채점
풀이 보기

뉴턴 방법은 접선과 xx축의 교점으로 근을 점점 정확히 찾는 점화식이에요. 식을 간단히 하면 계산이 쉬워져요.

  1. 1

    f′f' 를 구해서 점화식을 써요. f(x)=(x−1)2−2f(x)=(x-1)^2-2 이니 f′(x)=2(x−1)f'(x)=2(x-1) 이에요. xn+1=xn−(xn−1)2−22(xn−1)x_{n+1}=x_n-\frac{(x_n-1)^2-2}{2(x_n-1)}

  2. 2

    식을 간단히 해요. yn=xn−1y_n=x_n-1 로 두면 yn+1=yn−yn2−22yn=yn2+1yny_{n+1}=y_n-\dfrac{y_n^2-2}{2y_n}=\dfrac{y_n}{2}+\dfrac1{y_n} 이고, x0=2x_0=2 이니 y0=1y_0=1 이에요.

  3. 3

    극한값(해)을 구해요. 수렴한다면 극한 yy 는 y=y2+1yy=\dfrac y2+\dfrac1y, 즉 y2=2y^2=2 를 만족해요. 처음부터 yn>0y_n>0 이므로 y=2y=\sqrt2, 따라서 x=1+2≈2.4142x=1+\sqrt2\approx2.4142 예요. (원래 방정식 (x−1)2=2(x-1)^2=2 의 큰 근과 같아요.)

  4. 4

    항을 차례로 계산해요.

    nn yny_n xn=1+ynx_n=1+y_n
    0 1 2
    1 1.5 2.5
    2 1.416667 2.416667
    3 1.414216 2.414216
    4 1.414214 2.414214
  5. 5

    처음으로 2.41422.4142 와 같아지는 nn 을 찾아요. x2≈2.4167x_2\approx2.4167 은 넷째 자리가 달라요. x3≈2.4142x_3\approx2.4142 부터는 소수 넷째 자리까지 xx 와 같아요. 그래서 가장 작은 nn 은 33 이에요.

답

xn+1=xn−(xn−1)2−22(xn−1)x_{n+1}=x_n-\dfrac{(x_n-1)^2-2}{2(x_n-1)}, x=1+2≈2.4142x=1+\sqrt2\approx2.4142, n=3n=3

자주 하는 실수

f′(x)f'(x) 를 (x−1)(x-1) 로 쓰고 22 를 빼먹어 점화식의 분모가 틀리는 실수가 있어요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 $n=5$ 라고 했으나 직접 계산하면 $x_3=2.414216\ldots$ 가 이미 $2.4142$ 와 소수 넷째 자리까지 같음($x_4$ 는 7자리가 같음). 원본이 더 많은 자리를 요구했거나 번호를 달리 센 것으로 보이며 사람이 확인 필요. 나머지(점화식, $1+\sqrt2$, $2.4142$)는 일치.

원본 교재 풀이(영어)

xn+1=xn−((xn−1)2−2)/2(xn−1);{x}_{n+1}={x}_{n}-({({x}_{n}-1)}^{2}-2)/2({x}_{n}-1); x=1+2,x=1+\sqrt{2}, x≈2.4142,x\approx 2.4142, n=5n=5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.9절 · 8번
# 뉴턴 방법계산도전