극한·미분 심화 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 55번우리말 풀이

뉴턴 방법은 $f(x)=0$ 의 해를 어림하는 방법으로, 처음 근삿값 $x_0$ 에서 출발하여 $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 로 수열을 차례로 정합니다. 주어진 $f$ 와 $x_0$ 에 대하여 $x_{n+1}$ 의 식을 쓰세요. 수열이 수렴하는 것으로 보이면 해 $x$ 의 정확한 식을 구하고, $x$ 를 소수 넷째 자리까지 구한 뒤, $x_n$ 이 $x$ 와 소수 넷째 자리까지 같아지는 가장 작은 $n$ 을 구하세요.

[계산기 사용] $f(x)=(x-1)^2-2,\ x_0=2$

영어 원문 보기

Newton’s method seeks to approximate a solution $f(x)=0$ that starts with an initial approximation ${x}_{0}$ and successively defines a sequence ${x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})}.$ For the given choice of $f$ and ${x}_{0},$ write out the formula for ${x}_{n+1}.$ If the sequence appears to converge, give an exact formula for the solution $x,$ then identify the limit $x$ accurate to four decimal places and the smallest $n$ such that ${x}_{n}$ agrees with $x$ up to four decimal places.

[T] $f(x)={(x-1)}^{2}-2,$ ${x}_{0}=2$

답 쓰고 채점

풀이 보기

뉴턴 방법은 접선과 $x$ 축의 교점으로 근을 점점 정확히 찾는 점화식이에요. 식을 간단히 하면 계산이 쉬워져요.

1
$f'$ 를 구해서 점화식을 써요. $f(x)=(x-1)^2-2$ 이니 $f'(x)=2(x-1)$ 이에요. $x_{n+1}=x_n-\frac{(x_n-1)^2-2}{2(x_n-1)}$
2
식을 간단히 해요. $y_n=x_n-1$ 로 두면 $y_{n+1}=y_n-\dfrac{y_n^2-2}{2y_n}=\dfrac{y_n}{2}+\dfrac1{y_n}$ 이고, $x_0=2$ 이니 $y_0=1$ 이에요.
3
극한값(해)을 구해요. 수렴한다면 극한 $y$ 는 $y=\dfrac y2+\dfrac1y$ , 즉 $y^2=2$ 를 만족해요. 처음부터 $y_n>0$ 이므로 $y=\sqrt2$ , 따라서 $x=1+\sqrt2\approx2.4142$ 예요. (원래 방정식 $(x-1)^2=2$ 의 큰 근과 같아요.)
4
항을 차례로 계산해요.

$n$ $y_n$ $x_n=1+y_n$

0 1 2

1 1.5 2.5

2 1.416667 2.416667

3 1.414216 2.414216

4 1.414214 2.414214
5
처음으로 $2.4142$ 와 같아지는 $n$ 을 찾아요. $x_2\approx2.4167$ 은 넷째 자리가 달라요. $x_3\approx2.4142$ 부터는 소수 넷째 자리까지 $x$ 와 같아요. 그래서 가장 작은 $n$ 은 $3$ 이에요.

$n$	$y_n$	$x_n=1+y_n$
0	1	2
1	1.5	2.5
2	1.416667	2.416667
3	1.414216	2.414216
4	1.414214	2.414214

답

$x_{n+1}=x_n-\dfrac{(x_n-1)^2-2}{2(x_n-1)}$ , $x=1+\sqrt2\approx2.4142$ , $n=3$

자주 하는 실수

$f'(x)$ 를 $(x-1)$ 로 쓰고 $2$ 를 빼먹어 점화식의 분모가 틀리는 실수가 있어요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 $n=5$ 라고 했으나 직접 계산하면 $x_3=2.414216\ldots$ 가 이미 $2.4142$ 와 소수 넷째 자리까지 같음($x_4$ 는 7자리가 같음). 원본이 더 많은 자리를 요구했거나 번호를 달리 센 것으로 보이며 사람이 확인 필요. 나머지(점화식, $1+\sqrt2$, $2.4142$)는 일치.

원본 교재 풀이(영어)

${x}_{n+1}={x}_{n}-({({x}_{n}-1)}^{2}-2)/2({x}_{n}-1);$ $x=1+\sqrt{2},$ $x\approx 2.4142,$ $n=5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.9절 · 8번

# 뉴턴 방법계산도전

2.OpenStax 1권 · 2.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 주어진 각 명제에 알맞은 $\varepsilon$ - $\delta$ 정의를 쓰세요.

$\lim_{x\to a}f(x)=N$

영어 원문 보기

In the following exercises, write the appropriate $\varepsilon$ - $\delta$ definition for each of the given statements.

$\lim_{x\to a}f(x)=N$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 28번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

3.OpenStax 1권 · 2.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서, 주어진 명제에 알맞은 $\varepsilon$ - $\delta$ 정의를 쓰세요.

$\lim_{t\to b}g(t)=M$

영어 원문 보기

In the following exercises, write the appropriate $\varepsilon$ - $\delta$ definition for each of the given statements.

$\lim_{t\to b}g(t)=M$

정답·풀이 보기

모든 $\varepsilon >0$ 에 대해, $0<|t-b|<\delta$ 이면 $|g(t)-M|<\varepsilon$ 이 되는 $\delta >0$ 이 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

For every $\varepsilon >0,$ there exists a $\delta >0,$ so that if $0<|t-b|<\delta ,$ then $|g(t)-M|<\varepsilon$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 32번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

4.OpenStax 1권 · 2.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서, 주어진 명제에 알맞은 $\varepsilon$ - $\delta$ 정의를 쓰세요.

$\lim_{x\to c}h(x)=L$

영어 원문 보기

In the following exercises, write the appropriate $\varepsilon$ - $\delta$ definition for each of the given statements.

$\lim_{x\to c}h(x)=L$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 4번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 2.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서, 주어진 명제에 알맞은 $\varepsilon$ - $\delta$ 정의를 쓰세요.

$\lim_{x\to a}\varphi (x)=A$

영어 원문 보기

In the following exercises, write the appropriate $\varepsilon$ - $\delta$ definition for each of the given statements.

$\lim_{x\to a}\varphi (x)=A$

정답·풀이 보기

모든 $\varepsilon >0$ 에 대해, $0<|x-a|<\delta$ 이면 $|\varphi (x)-A|<\varepsilon$ 이 되는 $\delta >0$ 이 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

For every $\varepsilon >0,$ there exists a $\delta >0,$ so that if $0<|x-a|<\delta ,$ then $|\varphi (x)-A|<\varepsilon$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 2.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 함수 f 의 그래프는 $\lim_{x\to 2}f(x)=2$ 를 만족한다. 다음 각 문제에서, 각 명제를 만족시키는 $\delta >0$ 의 값을 구하세요.

$0<|x-2|<\delta$ 이면 $|f(x)-2|<1$ 이다.

영어 원문 보기

The following graph of the function f satisfies $\lim_{x\to 2}f(x)=2.$ In the following exercises, determine a value of $\delta >0$ that satisfies each statement.

If $0<|x-2|<\delta ,$ then $|f(x)-2|<1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 2.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 함수 f 의 그래프는 $\lim_{x\to 2}f(x)=2$ 를 만족한다. 다음 각 문제에서, 각 명제를 만족시키는 $\delta >0$ 의 값을 구하세요.

$0<|x-2|<\delta$ 이면 $|f(x)-2|<0.5$ 이다.

영어 원문 보기

The following graph of the function f satisfies $\lim_{x\to 2}f(x)=2.$ In the following exercises, determine a value of $\delta >0$ that satisfies each statement.

If $0<|x-2|<\delta ,$ then $|f(x)-2|<0.5.$

정답·풀이 보기

$\delta \le 0.25$

원본 교재 풀이(영어)

$\delta \le 0.25$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 4번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 2.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 함수 f 의 그래프는 $\lim_{x\to 3}f(x)=-1$ 을 만족한다. 다음 문제에서 각 명제를 만족하는 $\delta >0$ 의 값을 구하세요.

$0<|x-3|<\delta$ 이면 $|f(x)+1|<1$ 이다.

영어 원문 보기

The following graph of the function f satisfies $\lim_{x\to 3}f(x)=-1.$ In the following exercises, determine a value of $\delta >0$ that satisfies each statement.

If $0<|x-3|<\delta ,$ then $|f(x)+1|<1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 6번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 2.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 함수 f 의 그래프는 $\lim_{x\to 3}f(x)=-1$ 을 만족한다. 다음 문제에서 각 명제를 만족하는 $\delta >0$ 의 값을 구하세요.

$0<|x-3|<\delta$ 이면 $|f(x)+1|<2$ 이다.

영어 원문 보기

The following graph of the function f satisfies $\lim_{x\to 3}f(x)=-1.$ In the following exercises, determine a value of $\delta >0$ that satisfies each statement.

If $0<|x-3|<\delta ,$ then $|f(x)+1|<2.$

정답·풀이 보기

$\delta \le 2$

원본 교재 풀이(영어)

$\delta \le 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 6번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 2.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 함수 f 의 그래프는 $\lim_{x\to 3}f(x)=2$ 를 만족한다. 다음 문제에서 각 ε 의 값에 대해 극한의 엄밀한 정의가 성립하도록 하는 $\delta >0$ 의 값을 구하세요.

$\varepsilon =1.5$

영어 원문 보기

The following graph of the function f satisfies $\lim_{x\to 3}f(x)=2.$ In the following exercises, for each value of ε, find a value of $\delta >0$ such that the precise definition of limit holds true.

$\varepsilon =1.5$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 1권 · 2.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 함수 f 의 그래프는 $\lim_{x\to 3}f(x)=2$ 를 만족한다. 다음 문제에서 각 ε 의 값에 대해 극한의 엄밀한 정의가 성립하도록 하는 $\delta >0$ 의 값을 구하세요.

$\varepsilon =3$

영어 원문 보기

The following graph of the function f satisfies $\lim_{x\to 3}f(x)=2.$ In the following exercises, for each value of ε, find a value of $\delta >0$ such that the precise definition of limit holds true.

$\varepsilon =3$

정답·풀이 보기

$\delta \le 1$

원본 교재 풀이(영어)

$\delta \le 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 12번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 1권 · 2.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 다음 문제에서 그래프 계산기를 사용하여 주어진 명제가 성립하도록 하는 수 $\delta$ 를 구하세요.

$|x-\frac{\pi }{12}|<\delta$ 일 때마다 $|\sin (2x)-\frac{1}{2}|<0.1,$

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, use a graphing calculator to find a number $\delta$ such that the statements hold true.

$|\sin (2x)-\frac{1}{2}|<0.1,$ whenever $|x-\frac{\pi }{12}|<\delta$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 18번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 2.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 다음 연습문제에서 그래프 계산기를 사용하여 주어진 명제가 성립하도록 하는 수 $\delta$ 를 구하세요.

$|\sqrt{x-4}-2|<0.1,\,\text{은 항상 성립한다. 단,}\,|x-8|<\delta$

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, use a graphing calculator to find a number $\delta$ such that the statements hold true.

$|\sqrt{x-4}-2|<0.1,\,\text{whenever}\,|x-8|<\delta$

정답·풀이 보기

$\delta <0.3900$

원본 교재 풀이(영어)

$\delta <0.3900$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 24번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 2.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 2}(5x+8)=18$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 2}(5x+8)=18$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 32번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

15.OpenStax 1권 · 2.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 3}\frac{{x}^{2}-9}{x-3}=6$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 3}\frac{{x}^{2}-9}{x-3}=6$

정답·풀이 보기

$\delta =\varepsilon$ 이라 하자. $0<|x-3|<\varepsilon$ 이면 $|x+3-6|=|x-3|<\varepsilon$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta =\varepsilon .$ If $0<|x-3|<\varepsilon ,$ then $|x+3-6|=|x-3|<\varepsilon .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 16번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

16.OpenStax 1권 · 2.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 2}\frac{2{x}^{2}-3x-2}{x-2}=5$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 2}\frac{2{x}^{2}-3x-2}{x-2}=5$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 12번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

17.OpenStax 1권 · 2.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 0}{x}^{4}=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 0}{x}^{4}=0$

정답·풀이 보기

$\delta =\sqrt[4]{\varepsilon }$ 이라 하자. $0<|x|<\sqrt[4]{\varepsilon }$ 이면 $|{x}^{4}|={x}^{4}<\varepsilon$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta =\sqrt[4]{\varepsilon }.$ If $0<|x|<\sqrt[4]{\varepsilon },$ then $|{x}^{4}|={x}^{4}<\varepsilon .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 10번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

18.OpenStax 1권 · 2.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 2}({x}^{2}+2x)=8$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 2}({x}^{2}+2x)=8$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 16번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

19.OpenStax 1권 · 2.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 한쪽 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to {5}^{-}}\sqrt{5-x}=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given one-sided limits.

$\lim_{x\to {5}^{-}}\sqrt{5-x}=0$

정답·풀이 보기

$\delta ={\varepsilon }^{2}$ 이라 하자. $5-{\varepsilon }^{2}<x<5$ 이면 $|\sqrt{5-x}|=\sqrt{5-x}<\varepsilon$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta ={\varepsilon }^{2}.$ If $5-{\varepsilon }^{2}<x<5,$ then $|\sqrt{5-x}|=\sqrt{5-x}<\varepsilon .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 14번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

20.OpenStax 1권 · 2.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 한쪽 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to {0}^{+}}f(x)=-2,\,\text{단 여기서}\,f(x)=\{\begin{array}{c}8x-3,\,\text{(}\,x<0\text{ 일 때)}\\ 4x-2,\,\text{(}\,x\ge 0\text{ 일 때)}\end{array}.$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given one-sided limits.

$\lim_{x\to {0}^{+}}f(x)=-2,\,\text{where}\,f(x)=\{\begin{array}{c}8x-3,\,\text{if}\,x<0 \\ 4x-2,\,\text{if}\,x\ge 0\end{array}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 22번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

극한·미분 심화 전체 문제