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문제 은행 · 기초 수학 · 대수 · 수열

수열의 합과 시그마

합 기호의 뜻과 성질, 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 45번우리말 풀이

다음 합을 구하세요.

∑i=135(−6i−2)\displaystyle\sum_{i=1}^{35}(-6i-2)

영어 원문 보기

In the following exercises, find each sum.

∑i=135(−6i−2)\sum_{i=1}^{35}(-6i-2)

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시그마는 항별로 나눌 수 있어요. ∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^n i=\dfrac{n(n+1)}2, 상수 cc 를 nn 번 더하면 cncn 이에요.

  1. 1

    나눠요. ∑(−6i−2)=−6∑i=135i−∑i=1352\sum(-6i-2)=-6\sum_{i=1}^{35}i-\sum_{i=1}^{35}2 예요.

  2. 2

    자연수의 합을 구해요. ∑i=135i=35⋅362=630\sum_{i=1}^{35}i=\dfrac{35\cdot36}{2}=630 이에요.

  3. 3

    상수의 합을 구해요. 22 를 3535 번 더하니까 7070 이에요.

  4. 4

    합쳐요. −6×630−70=−3780−70=−3850-6\times630-70=-3780-70=-3850 이에요.

답

−3850-3850

자주 하는 실수

상수 −2-2 를 한 번만 빼고 3535 번 더하는 것을 잊으면 −3782-3782 가 나와요.

원본 교재 풀이(영어)

−3,850-3,850

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 55번
# 수열의 합과 시그마계산보통
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 55번우리말 풀이

무한등비급수의 합이 첫째항의 55 배예요. 이 급수의 공비는 얼마인가요?

영어 원문 보기

The sum of an infinite geometric series is five times the value of the first term. What is the common ratio of the series?

답 쓰고 채점
풀이 보기

첫째항 aa, 공비 rr (∣r∣<1|r|<1) 인 무한등비급수의 합은 S=a1−rS=\dfrac{a}{1-r} 이에요. 이 값이 5a5a 가 되도록 놓아요.

  1. 1

    식을 세워요. 합 S=a1−rS=\dfrac{a}{1-r} 이 첫째항 aa 의 55 배이므로 a1−r=5a\dfrac{a}{1-r}=5a 예요.

  2. 2

    aa 를 약분해요. 첫째항 a≠0a\ne0 이므로 양변을 aa 로 나누면 11−r=5\dfrac{1}{1-r}=5 예요.

  3. 3

    rr 을 구해요. 1−r=151-r=\dfrac15 이므로 r=1−15=45r=1-\dfrac15=\dfrac45 예요.

  4. 4

    수렴 조건을 확인해요. ∣r∣=45<1|r|=\dfrac45<1 이라서 합이 실제로 존재해요. 검산하면 a1−45=5a\dfrac{a}{1-\frac45}=5a 가 돼요.

답

r=45r=\dfrac{4}{5}

자주 하는 실수

a1−r=5a\dfrac{a}{1-r}=5a 에서 1−r=51-r=5 로 잘못 뒤집어 r=−4r=-4 가 되는 실수가 있어요. −4-4 는 ∣r∣<1|r|<1 도 만족하지 않아서 바로 틀린 걸 알 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

r=45r=\frac{4}{5}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 1번
# 수열의 합과 시그마개념 확인도전