수열의 합과 시그마 연습문제 (대수)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 55번우리말 풀이

무한등비급수의 합이 첫째항의 $5$ 배예요. 이 급수의 공비는 얼마인가요?

영어 원문 보기

The sum of an infinite geometric series is five times the value of the first term. What is the common ratio of the series?

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첫째항 $a$ , 공비 $r$ ( $|r|<1$ ) 인 무한등비급수의 합은 $S=\dfrac{a}{1-r}$ 이에요. 이 값이 $5a$ 가 되도록 놓아요.

1
식을 세워요. 합 $S=\dfrac{a}{1-r}$ 이 첫째항 $a$ 의 $5$ 배이므로 $\dfrac{a}{1-r}=5a$ 예요.
2
$a$ 를 약분해요. 첫째항 $a\ne0$ 이므로 양변을 $a$ 로 나누면 $\dfrac{1}{1-r}=5$ 예요.
3
$r$ 을 구해요. $1-r=\dfrac15$ 이므로 $r=1-\dfrac15=\dfrac45$ 예요.
4
수렴 조건을 확인해요. $|r|=\dfrac45<1$ 이라서 합이 실제로 존재해요. 검산하면 $\dfrac{a}{1-\frac45}=5a$ 가 돼요.

답

$r=\dfrac{4}{5}$

자주 하는 실수

$\dfrac{a}{1-r}=5a$ 에서 $1-r=5$ 로 잘못 뒤집어 $r=-4$ 가 되는 실수가 있어요. $-4$ 는 $|r|<1$ 도 만족하지 않아서 바로 틀린 걸 알 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$r=\frac{4}{5}$