문제 은행 · 기초 수학 · 대수 · 수열

수열 전체 문제

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풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 31번우리말 풀이

등비수열 $8,\ 24,\ 72,\ 216,\ 648,\ 1944,\ \ldots$ 의 첫째 항부터 제15항까지의 합을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the Sum of the First n terms of a Geometric Sequence

In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of each geometric sequence.

$8,24,72,216,648,1944,\,\ldots$

답 쓰고 채점

풀이 보기

첫째 항이 $a$ , 공비가 $r\ (r\ne1)$ 인 등비수열의 첫째 항부터 $n$ 항까지의 합은 $S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ 이에요.

1
$a$ 와 $r$ 를 읽어요. $a=8$ , $r=\dfrac{24}{8}=3$ 이에요. $72\div24=3$ 으로 공비가 일정해요.
2
공식에 넣어요. $S_{15}=\dfrac{8(3^{15}-1)}{3-1}=4(3^{15}-1)$ 이에요.
3
$3^{15}$ 를 구해요. $3^5=243$ 이고 $243^3=14{,}348{,}907$ 이에요.
4
계산해요. $4\times14{,}348{,}906=57{,}395{,}624$ 예요.

답

$57{,}395{,}624$

자주 하는 실수

공식의 분모 $r-1$ 을 빼먹거나 $3^{15}$ 를 $3\times15=45$ 로 계산하는 실수를 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$57,395,624$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.3절 · 1번

# 등비수열계산도전

2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 55번우리말 풀이

무한등비급수의 합이 첫째항의 $5$ 배예요. 이 급수의 공비는 얼마인가요?

영어 원문 보기

The sum of an infinite geometric series is five times the value of the first term. What is the common ratio of the series?

답 쓰고 채점

풀이 보기

첫째항 $a$ , 공비 $r$ ( $|r|<1$ ) 인 무한등비급수의 합은 $S=\dfrac{a}{1-r}$ 이에요. 이 값이 $5a$ 가 되도록 놓아요.

1
식을 세워요. 합 $S=\dfrac{a}{1-r}$ 이 첫째항 $a$ 의 $5$ 배이므로 $\dfrac{a}{1-r}=5a$ 예요.
2
$a$ 를 약분해요. 첫째항 $a\ne0$ 이므로 양변을 $a$ 로 나누면 $\dfrac{1}{1-r}=5$ 예요.
3
$r$ 을 구해요. $1-r=\dfrac15$ 이므로 $r=1-\dfrac15=\dfrac45$ 예요.
4
수렴 조건을 확인해요. $|r|=\dfrac45<1$ 이라서 합이 실제로 존재해요. 검산하면 $\dfrac{a}{1-\frac45}=5a$ 가 돼요.

답

$r=\dfrac{4}{5}$

자주 하는 실수

$\dfrac{a}{1-r}=5a$ 에서 $1-r=5$ 로 잘못 뒤집어 $r=-4$ 가 되는 실수가 있어요. $-4$ 는 $|r|<1$ 도 만족하지 않아서 바로 틀린 걸 알 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$r=\frac{4}{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 1번

# 수열의 합과 시그마개념 확인도전