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수열 전체 문제

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풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 45번우리말 풀이

다음 합을 구하세요.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{35}(-6i-2)$

영어 원문 보기

In the following exercises, find each sum.

$\sum_{i=1}^{35}(-6i-2)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

시그마는 항별로 나눌 수 있어요. $\sum_{i=1}^n i=\dfrac{n(n+1)}2$ , 상수 $c$ 를 $n$ 번 더하면 $cn$ 이에요.

1
나눠요. $\sum(-6i-2)=-6\sum_{i=1}^{35}i-\sum_{i=1}^{35}2$ 예요.
2
자연수의 합을 구해요. $\sum_{i=1}^{35}i=\dfrac{35\cdot36}{2}=630$ 이에요.
3
상수의 합을 구해요. $2$ 를 $35$ 번 더하니까 $70$ 이에요.
4
합쳐요. $-6\times630-70=-3780-70=-3850$ 이에요.

답

$-3850$

자주 하는 실수

상수 $-2$ 를 한 번만 빼고 $35$ 번 더하는 것을 잊으면 $-3782$ 가 나와요.

원본 교재 풀이(영어)

$-3,850$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 55번

# 수열의 합과 시그마계산보통

2.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 31번우리말 풀이

등비수열 $8,\ 24,\ 72,\ 216,\ 648,\ 1944,\ \ldots$ 의 첫째 항부터 제15항까지의 합을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the Sum of the First n terms of a Geometric Sequence

In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of each geometric sequence.

$8,24,72,216,648,1944,\,\ldots$

답 쓰고 채점

풀이 보기

첫째 항이 $a$ , 공비가 $r\ (r\ne1)$ 인 등비수열의 첫째 항부터 $n$ 항까지의 합은 $S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ 이에요.

1
$a$ 와 $r$ 를 읽어요. $a=8$ , $r=\dfrac{24}{8}=3$ 이에요. $72\div24=3$ 으로 공비가 일정해요.
2
공식에 넣어요. $S_{15}=\dfrac{8(3^{15}-1)}{3-1}=4(3^{15}-1)$ 이에요.
3
$3^{15}$ 를 구해요. $3^5=243$ 이고 $243^3=14{,}348{,}907$ 이에요.
4
계산해요. $4\times14{,}348{,}906=57{,}395{,}624$ 예요.

답

$57{,}395{,}624$

자주 하는 실수

공식의 분모 $r-1$ 을 빼먹거나 $3^{15}$ 를 $3\times15=45$ 로 계산하는 실수를 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$57,395,624$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.3절 · 1번

# 등비수열계산도전

3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.2절 · 23번우리말 풀이

등차수열에서 $a_{11}=11,\ a_{21}=16$ 일 때, 첫째항 $a_1$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the first term given two terms from an arithmetic sequence.

Find the first term or ${a}_{1}$ of an arithmetic sequence if ${a}_{11}=11$ and ${a}_{21}=16.$

풀이 보기

등차수열에서 두 항의 차는 (항 번호의 차) $\times$ (공차)예요. 공차를 먼저 구하고 거꾸로 첫째항까지 가요.

1
공차를 구해요. $a_{21}-a_{11}=10d$ 이므로 $16-11=10d$ , 즉 $d=\dfrac{5}{10}=\dfrac12$ 이에요.
2
첫째항을 구해요. $a_{11}=a_1+10d$ 이므로 $a_1=11-10\cdot\dfrac12=11-5=6$ 이에요.
3
확인해요. $a_{21}=6+20\cdot\dfrac12=16$ 으로 맞아요.

답

$a_1=6$

자주 하는 실수

$a_{11}=a_1+11d$ 처럼 $n-1$ 대신 $n$ 을 곱하는 실수가 많아요. 11번째 항은 공차를 $10$ 번 더한 거예요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{1}=6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 2번

# 등차수열계산기본

4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 55번우리말 풀이

무한등비급수의 합이 첫째항의 $5$ 배예요. 이 급수의 공비는 얼마인가요?

영어 원문 보기

The sum of an infinite geometric series is five times the value of the first term. What is the common ratio of the series?

답 쓰고 채점

풀이 보기

첫째항 $a$ , 공비 $r$ ( $|r|<1$ ) 인 무한등비급수의 합은 $S=\dfrac{a}{1-r}$ 이에요. 이 값이 $5a$ 가 되도록 놓아요.

1
식을 세워요. 합 $S=\dfrac{a}{1-r}$ 이 첫째항 $a$ 의 $5$ 배이므로 $\dfrac{a}{1-r}=5a$ 예요.
2
$a$ 를 약분해요. 첫째항 $a\ne0$ 이므로 양변을 $a$ 로 나누면 $\dfrac{1}{1-r}=5$ 예요.
3
$r$ 을 구해요. $1-r=\dfrac15$ 이므로 $r=1-\dfrac15=\dfrac45$ 예요.
4
수렴 조건을 확인해요. $|r|=\dfrac45<1$ 이라서 합이 실제로 존재해요. 검산하면 $\dfrac{a}{1-\frac45}=5a$ 가 돼요.

답

$r=\dfrac{4}{5}$

자주 하는 실수

$\dfrac{a}{1-r}=5a$ 에서 $1-r=5$ 로 잘못 뒤집어 $r=-4$ 가 되는 실수가 있어요. $-4$ 는 $|r|<1$ 도 만족하지 않아서 바로 틀린 걸 알 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$r=\frac{4}{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 1번

# 수열의 합과 시그마개념 확인도전