집합과 명제 전체 연습문제 (공통수학2)

41.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.2절 · 14c번영어 원문

Are the following propositions true or false? Justify your conclusion.

There exist integers $x$ and $y$ such that $6x + 15y = 9$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2b번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

42.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2a번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For all integers $a$ and $b$ , if $a$ is even and $b$ is odd, then $4$ does not divide $\left( a^2 + b^2 \right)$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is true. Use a proof by contradiction. So assume that there exist integers $a$ and $b$ such that $a$ is even, $b$ is odd, and 4 divides $a^2 + b^2$ . So there exist integers $m$ and $n$ such that

$a = 2m \qquad \text{ and } \qquad a^2 + b^2 = 4n$

. Substitute $a = 2m$ into the second equation and use algebra to rewrite in the form $b^2 = 4(n - m^2)$ . This means that $b^2$ is even and hence, that $b$ is even. This is a contradiction to the assumption that $b$ is odd.

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# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

43.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2b번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For all integers $a$ and $b$ , if $a$ is even and $b$ is odd, then $6$ does not divide $\left( a^2 + b^2 \right)$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is true. Use a proof by contradiction. So assume that there exist integers $a$ and $b$ such that $a$ is even, $b$ is odd, and 6 divides $a^2 + b^2$ . So there exist integers $m$ and $n$ such that

$a = 2m \qquad \text{ and } \qquad a^2 + b^2 = 6n$

. Substitute $a = 2m$ into the second equation and use algebra to rewrite in the form $b^2 = 2(3n - 2m^2)$ . This means that $b^2$ is even and hence, that $b$ is even. This is a contradiction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2d번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

44.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2c번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For all integers $a$ and $b$ , if $a$ is even and $b$ is odd, then $4$ does not divide $\left( a^2 + 2b^2 \right)$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절 · 3g번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

45.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2d번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For all integers $a$ and $b$ , if $a$ is odd and $b$ is odd, then $4$ divides $\left( a^2 + 3b^2 \right)$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is true. Use a direct proof. Let $a$ and $b$ be integers and assume they are odd. So there exist integers $m$ and $n$ such that

$a = 2m + 1 \qquad \text{ and } \qquad b = 2n + 1$

. We then see that

$\begin{aligned}a^2 + 3b^2 & = 4m^2 + 4m + 1 + 12n^2 + 12n + 3 \\ & = 4\left( m^2 + m + 3n^2 + 3n + 1 \right)\end{aligned}$

. This shows that 4 divides $a^2 + 3b^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절 · 1a번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

46.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6a번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For each positive real number $x$ , if $x$ is irrational, then $x^2$ is irrational.

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is false. A counterexample is $x = \sqrt{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6b번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

47.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6b번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For each positive real number $x$ , if $x$ is irrational, then $\sqrt x$ is irrational.

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is true since the contrapositive is true. The contrapositive is:

For any real number

x

, if

\sqrt{x}

is rational, then

x

is rational.

If there exist integers $a$ and $b$ with $b \ne 0$ such that $\sqrt{x} = \dfrac{a}{b}$ , then $x^2 = \dfrac{a^2}{b^2}$ and hence, $x^2$ is rational.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 3a번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

48.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6c번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For every pair of real numbers $x$ and $y$ , if $x + y$ is irrational, then $x$ is irrational and $y$ is irrational.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.2절 · 8c번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

49.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6d번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For every pair of real numbers $x$ and $y$ , if $x + y$ is irrational, then $x$ is irrational or $y$ is irrational.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

50.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 9번영어 원문

Is the following statement true or false?

For all positive real numbers

x

and

y

,

\sqrt {x + y} \leq \sqrt x + \sqrt y

.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6a번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

51.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 10번영어 원문

Is the following proposition true or false? Justify your conclusion.

For each real number

x

,

x \left( 1 - x \right) \leq \dfrac{1}{4}

.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절 · 1a번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

52.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 15c번영어 원문

Three natural numbers $a$ , $b$ , and $c$ with $a \lt b \lt c$ are called a Pythagorean triple

provided that $a^2 + b^2 = c^2$ . For example, the numbers 3, 4, and 5 form a Pythagorean triple, and the numbers 5, 12, and 13 form a Pythagorean triple.

Is the following proposition true or false? Justify your conclusion. For all integers $a$ , $b$ , and $c$ , if $a^2 + b^2 = c^2$ , then $a$ is even or $b$ is even.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 5b번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

53.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.1절 · 14번영어 원문

One of the properties of real numbers is the so-called Law of Trichotomy,

which states that if $a, b \in \mathbb{R}$ , then exactly one of the following is true:

$a \lt b$ ; - $a = b$ ; - $a > b$ .

Is the following proposition concerning sets true or false? Either provide a proof that it is true or a counterexample showing it is false. If $A$ and $B$ are subsets of some universal set, then exactly one of the following is true:

$A \subseteq B$ ; - $A = B$ ; - $B \subseteq A$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 2.3절 · 3c번

# 집합의 뜻과 포함 관계개념 확인자동 분류

54.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.2절 · 9번영어 원문

Is the following proposition true or false? Justify your conclusion with a proof or a counterexample.

For all sets

A

and

B

that are subsets of some universal set

U

, the sets

A \cap B

and

A - B

are disjoint.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.2절 · 12a번

# 집합의 뜻과 포함 관계개념 확인자동 분류

55.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.2절 · 11a번영어 원문

Let $A$ , $B$ , $C$ , and $D$ be subsets of some universal set $U$ . Are the following propositions true or false? Justify your conclusions.

If $A \subseteq B$ and $C \subseteq D$ and $A$ and $C$ are disjoint, then $B$ and $D$ are disjoint.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.1절 · 5b번

# 집합의 뜻과 포함 관계개념 확인자동 분류

56.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.2절 · 11b번영어 원문

Let $A$ , $B$ , $C$ , and $D$ be subsets of some universal set $U$ . Are the following propositions true or false? Justify your conclusions.

If $A \subseteq B$ and $C \subseteq D$ and $B$ and $D$ are disjoint, then $A$ and $C$ are disjoint.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.1절 · 3k번

# 집합의 뜻과 포함 관계개념 확인자동 분류

57.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.2절 · 13a번영어 원문

Let $A$ , $B$ , and $C$ be subsets of a universal set $U$ . Are the following propositions true or false? Justify your conclusions.

If $A \cap C \subseteq B \cap C$ , then $A \subseteq B$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.1절 · 1c번

# 집합의 뜻과 포함 관계개념 확인자동 분류

58.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.2절 · 13b번영어 원문

Let $A$ , $B$ , and $C$ be subsets of a universal set $U$ . Are the following propositions true or false? Justify your conclusions.

If $A \cup C \subseteq B \cup C$ , then $A \subseteq B$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.1절 · 3n번

# 집합의 뜻과 포함 관계개념 확인자동 분류

59.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.2절 · 13c번영어 원문

Let $A$ , $B$ , and $C$ be subsets of a universal set $U$ . Are the following propositions true or false? Justify your conclusions.

If $A \cup C = B \cup C$ , then $A = B$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 2.3절 · 1d번

# 집합의 뜻과 포함 관계개념 확인자동 분류

60.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.2절 · 13d번영어 원문

Let $A$ , $B$ , and $C$ be subsets of a universal set $U$ . Are the following propositions true or false? Justify your conclusions.

If $A \cap C = B \cap C$ , then $A = B$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 5.1절

# 집합의 뜻과 포함 관계개념 확인자동 분류

집합과 명제 전체 문제