문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

수치적분

중점·사다리꼴·심프슨 공식으로 정적분을 근사하고 오차를 어림한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-2 · 1.11절 · 1번대학 수준우리말 번역

어떤 물체의 부피를 $1.5 \mathrm{m}^3$ 로 어림했는데, 정확한 부피는 $1.387 \mathrm{m}^3$ 이다. 이 어림값의 상대오차, 절대오차, 백분율 오차를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose we approximate an object to have volume $1.5 \mathrm{m}^3$ , when its exact volume is $1.387 \mathrm{m}^3$ . Give the relative error, absolute error, and percent error of our approximation.

정답·풀이 보기

절대오차는 두 값의 차이다: $|1.387-1.5| = 0.113$ 상대오차는 절대오차를 정확한 값으로 나눈 것이다: $\frac{0.113}{1.387}\approx 0.08147$ 백분율 오차는 상대오차의 100배이다: $\approx 8.147\%$

원본 교재 풀이(영어)

The absolute error is the difference between the two values: $|1.387-1.5| = 0.113$ The relative error is the absolute error divided by the exact value: $\frac{0.113}{1.387}\approx 0.08147$ The percent error is 100 times the relative error: $\approx 8.147\%$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 2번

# 수치적분계산기본자동 분류

2.CLP-2 · 1.11절 · 2번대학 수준우리말 번역

아래 그래프에 나타난 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle\int_2^{10} f(x)~\mathrm{d}x$ 의 근삿값을 구하는 경우를 생각하자.

(a) $n=4$ 일 때 중점 법칙을 이용한 근삿값에 해당하는 직사각형을 그리세요. (b) 사다리꼴 법칙을 이용한 근삿값과 $n=4$ 에 해당하는 사다리꼴을 그리세요.

근삿값을 구할 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

Consider approximating $\displaystyle\int_2^{10} f(x)~\mathrm{d}x$ , where $f(x)$ is the function in the graph below.

(a) Draw the rectangles associated with the midpoint rule approximation and $n=4$ . (b) Draw the trapezoids associated with the trapezoidal rule approximation and $n=4$ .

You don't have to give an approximation.

정답·풀이 보기

중점 법칙:

사다리꼴 법칙:

원본 교재 풀이(영어)

Midpoint rule:

Trapezoidal rule:

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 3번

# 수치적분그래프·표 해석기본자동 분류

3.CLP-2 · 1.11절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2$ 이라 하자.

(a) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f''(x)| \leq M$ 을 만족시키는 적당한 값 $M$ 을 구하세요. (b) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f^{(4)}(x)| \leq L$ 을 만족시키는 적당한 값 $L$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2$ .

(a) Find a reasonable value $M$ such that $|f''(x)| \leq M$ for all $1 \leq x \leq 6$ . (b) Find a reasonable value $L$ such that $|f^{(4)}(x)| \leq L$ for all $1 \leq x \leq 6$ .

정답·풀이 보기

(a) 미분하면 $f''(x) = -x^2+7x-6$ 임을 알 수 있다. $f''(x)$ 는 이차식이므로 그 그래프의 대략적인 모양을 잘 알 수 있다.

이 식은 $f(x) = -(x-6)(x-1)$ 로 인수분해되므로, 두 근은 $x=6$ 과 $x=1$ 이다.
포물선의 “평평한 부분"은 $x=3.5$ 에 있다( $x=1$ 과 $x=6$ 의 정확히 가운데이기 때문이다. 또는 $f'''(3.5)=0$ 임을 확인해도 된다).
$x^2$ 의 계수가 음수이므로, $f(x)$ 는 $-\infty$ 에서 $3.5$ 까지 증가하고, $3.5$ 에서 $\infty$ 까지 감소한다.

따라서 구간 $[1,6]$ 에서 $f''(x)$ 의 가장 큰 양의 값은 $x=3.5$ 일 때 나타나며, 그 값은 $f''(3.5) = -(3.5-6)(3.5-1)=6.25$ 이다.

그러므로 $M=6.25$ 로 잡는다. (b) 더 미분하면 $f^{(4)}(x)=-2$ 이다. 이것은 어디서나 상수이므로 $L=|-2|=2$ 로 잡는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Differentiating, we find $f''(x) = -x^2+7x-6$ . Since $f''(x)$ is quadratic, we have a pretty good idea of what it looks like.

It factors as $f(x) = -(x-6)(x-1)$ , so its two roots are at $x=6$ and $x=1$ .
The “flat part" of the parabola is at $x=3.5$ (since this is exactly half way between $x=1$ and $x=6$ ; alternately, we can check that $f'''(3.5)=0$ ).
Since the coefficient of $x^2$ is negative, $f(x)$ is increasing from $-\infty$ to $3.5$ , then decreasing from $3.5$ to $\infty$ .

Therefore, over the interval $[1,6]$ , the largest positive value of $f''(x)$ occurs when $x=3.5$ , and this is $f''(3.5) = -(3.5-6)(3.5-1)=6.25$ .

So, we take $M=6.25$ . (b) We differentiate further to find $f^{(4)}(x)=-2$ . This is constant everywhere, so we take $L=|-2|=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 7번

# 수치적분계산기본자동 분류

4.CLP-2 · 1.11절 · 7번대학 수준우리말 번역

어머니의 나이는 100세 미만이고, 나의 나이는 200세 미만이라고 하자. (이 이야기는 어딘가로 이어진다.) 누가 더 나이가 많은지 말하세요.

영어 원문 보기

Suppose my mother is under 100 years old, and I am under 200 years old. (We're going somewhere with this.) Who is older?

정답·풀이 보기

어떤 합리적인 가정을 하더라도(내가 어머니보다 나이가 많은 상황을 만들어 내려다 들킨 사람은 최고 보안 등급의 대학원으로 보내질 것이다.) 어머니가 나보다 나이가 많다.

원본 교재 풀이(영어)

Under any reasonable assumptions (Anyone caught trying to come up with a scenario in which I am older than my mother will be sent to maximum security grad school.), my mother is older than I am.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 9번

# 수치적분계산기본자동 분류

5.CLP-2 · 1.11절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하세요. 참이면 간단한 근거를 제시하세요.

$f(x)$ 가 양수이고 아래로 볼록할 때, $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ 에 대한 사다리꼴 공식 어림값은 항상 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ 의 상한 어림값이다.

영어 원문 보기

Decide whether the following statement is true or false. If false, provide a counterexample. If true, provide a brief justification.

When $f(x)$ is positive and concave up, any trapezoidal rule approximation for $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ will be an upper estimate for $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

참이다. $f(x)$ 가 양수이고 아래로 볼록하므로, $f(x)$ 의 그래프는 사다리꼴 공식에 사용된 사다리꼴들의 윗변보다 항상 아래에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

True. Because $f(x)$ is positive and concave up, the graph of $f(x)$ is always below the top edges of the trapezoids used in the trapezoidal rule.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.5절 · 1번

# 수치적분개념 확인기본자동 분류