문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

두 곡선 사이의 넓이

두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 (위−아래)의 정적분으로 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 6.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 $y$ 축 방향으로 적분하여 두 곡선 사이 영역의 넓이를 구하세요.

$x=y^2$ 과 $x=9$

두 그래프 x=y^2 과 x=9 이고, 두 그래프 사이 영역이 색칠되어 있어요. 영역은 가로 방향으로 놓여 있고 y 축과 직선 x=9 사이에 있어요.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the area of the region between the two curves by integrating over the $y\text{-axis}.$

$x={y}^{2}\,\text{and}\,x=9$

This figure is has two graphs. They are the equations x=y^2 and x=9. The region between the graphs is shaded. It is horizontal, between the y-axis and the line x=9.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x$ 가 $y$ 의 함수이니 $y$ 로 적분하고, (오른쪽 곡선 $-$ 왼쪽 곡선)을 더해요.

1
곡선이 $x=y^2$ 처럼 $x$ 를 $y$ 로 나타낸 꼴이라 $y$ 에 대해 적분하는 것이 편해요. 그림에서 영역은 왼쪽이 포물선 $x=y^2$ , 오른쪽이 직선 $x=9$ 예요.
2
적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳이에요. $y^2=9$ 에서 $y=-3$ , $y=3$ 이에요.
3
가로 길이(오른쪽 $-$ 왼쪽)는 $9-y^2$ 이므로 $A=\int_{-3}^{3}(9-y^2)\,dy$ 예요.
4
계산해요. 피적분함수가 짝함수라 $2\int_0^3(9-y^2)\,dy$ 로 바꿀 수 있어요. $2\left[9y-\frac{y^3}{3}\right]_0^3=2(27-9)=36$

답

$36$

자주 하는 실수

위쪽·아래쪽 대신 오른쪽·왼쪽을 빼야 하는데 순서를 바꾸면 부호가 음수가 돼요. 넓이는 항상 양수예요.

원본 교재 풀이(영어)

$36$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 13번

# 두 곡선 사이의 넓이계산보통

2.OpenStax 1권 · 6.1절 · 13번우리말 풀이

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축에 대해 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=|x|$ 와 $y=x^2$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the $x\text{-axis}.$

$y=|x|\,\text{and}\,y={x}^{2}$

풀이 보기

교점으로 구간을 정하고, 그 구간에서 위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺀 것을 적분해요. 좌우 대칭이면 한쪽만 구해 두 배 해요.

1
그림에서 직선 모양의 $y=|x|$ 가 위에, 포물선 $y=x^2$ 이 아래에 있고 둘로 둘러싸인 부분이 색칠된 영역이에요. 교점은 $|x|=x^2$ 에서 $x=-1,\,0,\,1$ 이에요.
2
두 그래프는 $y$ 축에 대해 대칭이므로 $0\le x\le1$ 부분의 넓이를 구해 두 배 해요. 이 구간에서 $|x|=x$ 이므로 (위)−(아래)는 $x-x^2$ 이에요.
3
$\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16$
4
두 배 하면 $2\cdot\frac16=\frac13$ 이에요.

답

$\frac13$

자주 하는 실수

$0$ 부터 $1$ 까지만 구하고 두 배 하는 것을 잊어 $\frac16$ 이라고 답해요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the functions f(x)=x^2 and g(x)=absolute value of x. There are two shaded regions. The first region is in the second quadrant and is between g(x) above and f(x) below. The second region is in the first quadrant and is bounded above by g(x) and below by f(x).

$\frac{1}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 55번

# 두 곡선 사이의 넓이그래프·표 해석보통

3.OpenStax 1권 · 6.1절 · 55번우리말 풀이

다음 문제에서 $x$ 에 대해 적분하는 방법과 $y$ 에 대해 적분하는 방법으로 두 곡선 사이의 넓이를 각각 구하세요. 한쪽 방법이 더 쉬운가요? 두 방법의 답은 같은가요?

$x=y^{2}-2$ 그리고 $x=2y$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area between the curves by integrating with respect to $x$ and then with respect to $y.$ Is one method easier than the other? Do you obtain the same answer?

$x={y}^{2}-2\,\text{and}\,x=2y$

답 쓰고 채점

풀이 보기

곡선이 $x=(y$ 의 식 $)$ 꼴이면 $y$ 로 적분하는 것이 훨씬 간단해요(오른쪽 곡선 − 왼쪽 곡선).

1
교점을 구해요. $y^2-2=2y$ 에서 $y^2-2y-2=0$ 이므로 $y=1\pm\sqrt3$ 이에요. 이때 $x=2y$ 이니까 교점의 $x$ 좌표는 $2\pm2\sqrt3$ 이에요.
2
$y$ 에 대해 적분해요. 두 식이 모두 $x=\cdots$ 꼴이라 $y$ 를 변수로 보면 한 번에 계산돼요. $y=0$ 에서 직선은 $x=0$ , 포물선은 $x=-2$ 이므로 직선이 오른쪽이에요. $A=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}\left(2y-(y^2-2)\right)dy=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}(-y^2+2y+2)\,dy$
3
계산을 쉽게 하려고 $t=y-1$ 로 바꿔요. $-y^2+2y+2=3-(y-1)^2=3-t^2$ 이고 구간은 $-\sqrt3\le t\le\sqrt3$ 이에요. $A=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(3-t^2)\,dt=2\left[3t-\frac{t^3}{3}\right]_0^{\sqrt3}=2\left(3\sqrt3-\sqrt3\right)=4\sqrt3$
4
$x$ 에 대해 적분하면 어떨까요? 포물선은 $y=\pm\sqrt{x+2}$ 로 위·아래 두 줄기라서 구간을 둘로 나눠야 해요. $x_1=2-2\sqrt3$ , $x_2=2+2\sqrt3$ 라 하면 $A=\int_{-2}^{x_1}2\sqrt{x+2}\,dx+\int_{x_1}^{x_2}\left(\sqrt{x+2}-\frac{x}{2}\right)dx$
5
$u=x+2$ 로 계산해요. $u_1=4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2$ , $u_2=4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2$ 이므로 $u_1^{3/2}=6\sqrt3-10$ , $u_2^{3/2}=6\sqrt3+10$ 이에요. 그러면 $A=\frac43(6\sqrt3-10)+\frac23\big[(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)\big]-\frac{x_2^2-x_1^2}{4}$ 여기서 $\dfrac{x_2^2-x_1^2}{4}=\dfrac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{4}=\dfrac{4\sqrt3\cdot4}{4}=4\sqrt3$ 이므로 $A=\left(8\sqrt3-\frac{40}{3}\right)+\frac{40}{3}-4\sqrt3=4\sqrt3$ $y$ 로 적분한 값과 같고, $y$ 로 적분하는 쪽이 훨씬 쉬워요.

답

$4\sqrt{3}$ (두 방법의 답은 같고, $y$ 로 적분하는 방법이 더 쉬움)

자주 하는 실수

$x$ 로 적분할 때 포물선의 위·아래 줄기를 구분하지 않고 한 번에 적분하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$4\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 57번

# 두 곡선 사이의 넓이계산보통

4.OpenStax 1권 · 6.1절 · 57번우리말 풀이

단위원의 둘레와, 세 직선 $y=2x+1$ , $y=1-2x$ , $y=-\frac35$ 로 만들어진 삼각형 사이의 넓이를 구하세요(다음 그림 참고). 미적분을 쓰지 않고 푸는 방법이 있을까요?

원점이 중심이고 반지름이 1인 원의 그래프예요. 세 직선이 원과 만나는 세 점이 원 안에 삼각형을 이루어요.

영어 원문 보기

Find the area between the perimeter of the unit circle and the triangle created from $y=2x+1,y=1-2x$ and $y=-\frac{3}{5},$ as seen in the following figure. Is there a way to solve this without using calculus?

This figure is the graph of a circle centered at the origin with radius of 1. There are three lines intersecting the circle. The lines intersect the circle at three points to form a triangle within the circle.

답 쓰고 채점

풀이 보기

삼각형의 세 꼭짓점이 모두 원 위에 있으니, 구하는 넓이는 (원의 넓이 $-$ 삼각형의 넓이)예요.

1
그림을 보면 세 직선이 서로 만나는 세 점이 모두 단위원 위에 있고, 삼각형이 원 안에 들어 있어요. 구하려는 부분은 원 안에서 삼각형 바깥쪽이에요.
2
꼭짓점을 구해요. $y=2x+1$ 과 $y=1-2x$ 는 $x=0$ 에서 만나 $(0,1)$ 이에요. $y=2x+1$ 과 $y=-\frac35$ 는 $2x+1=-\frac35$ 에서 $x=-\frac45$ 이므로 $\left(-\frac45,-\frac35\right)$ , 대칭으로 $\left(\frac45,-\frac35\right)$ 도 꼭짓점이에요. 세 점 모두 $x^2+y^2=1$ 을 만족해요. (예: $\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ )
3
삼각형의 밑변은 $y=-\frac35$ 위에서 길이 $\frac45-\left(-\frac45\right)=\frac85$ 이고, 높이는 $1-\left(-\frac35\right)=\frac85$ 예요. 그래서 넓이는 $\frac12\cdot\frac85\cdot\frac85=\frac{32}{25}$ 예요.
4
단위원의 넓이는 $\pi$ 이므로 구하는 넓이는 $\pi-\frac{32}{25}$ 예요.
5
이것이 미적분 없이 푸는 방법이에요. 적분으로 풀면 원의 위쪽·아래쪽 호와 직선 사이를 나누어 계산해야 해서 훨씬 번거로워요.

답

$\pi-\frac{32}{25}$

자주 하는 실수

세 직선과 원 사이를 일일이 적분하려다 길을 잃기 쉬워요. 도형의 넓이 공식으로 풀 수 있는지 먼저 살펴봐요.

원본 교재 풀이(영어)

$\pi -\frac{32}{25}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 5번

# 두 곡선 사이의 넓이계산도전