빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

정적분의 뜻과 성질

정적분을 넓이로 이해하고, 구간 나누기·대칭 같은 성질로 값을 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번우리말 풀이

다음 문제에서 ∫01x dx=12\int_0^1 x\,dx=\frac12, ∫01x2 dx=13\int_0^1 x^2\,dx=\frac13, ∫01x3 dx=14\int_0^1 x^3\,dx=\frac14 임을 이용해 적분을 계산하세요.

∫01(1−2x)3 dx\int_0^1 (1-2x)^3\,dx

영어 원문 보기

In the following exercises, given that ∫01xdx=12,∫01x2dx=13,{\int }_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2},{\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}, and ∫01x3dx=14,{\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx=\frac{1}{4}, compute the integrals.

∫01(1−2x)3dx{\int }_{0}^{1}{(1-2x)}^{3}dx

풀이 보기

식을 전개해서 아는 적분들의 합으로 쪼개요.

  1. 1

    주어진 값은 xx, x2x^2, x3x^3 의 적분뿐이에요. 그러니 (1−2x)3(1-2x)^3 을 전개해 xx 의 거듭제곱 합으로 바꿔요. (1−2x)3=1−6x+12x2−8x3(1-2x)^3=1-6x+12x^2-8x^3

  2. 2

    정적분은 합과 상수배를 밖으로 뺄 수 있어요. ∫01(1−6x+12x2−8x3) dx=∫011 dx−6∫01x dx+12∫01x2 dx−8∫01x3 dx\int_0^1(1-6x+12x^2-8x^3)\,dx=\int_0^1 1\,dx-6\int_0^1x\,dx+12\int_0^1x^2\,dx-8\int_0^1x^3\,dx

  3. 3

    ∫011 dx=1\int_0^1 1\,dx=1 이고 나머지는 주어진 값을 넣어요. 1−6⋅12+12⋅13−8⋅14=1−3+4−2=01-6\cdot\frac12+12\cdot\frac13-8\cdot\frac14=1-3+4-2=0

  4. 4

    검산해 봐요. 부정적분 x−3x2+4x3−2x4x-3x^2+4x^3-2x^4 에 x=1x=1 을 넣으면 1−3+4−2=01-3+4-2=0 으로 같아요.

답

00

자주 하는 실수

(1−2x)3(1-2x)^3 을 전개할 때 가운데 항의 계수를 틀리기 쉬워요. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 을 써요.

원본 교재 풀이(영어)

∫01(1−6x+12x2−8x3)dx=(x−3x2+4x3−2x4)=(1−3+4−2)(0−0+0−0)=0{\int }_{0}^{1}(1-6x+12{x}^{2}-8{x}^{3})dx=(x-3{x}^{2}+4{x}^{3}-2{x}^{4})=(1-3+4-2)(0-0+0-0)=0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 26번
# 정적분의 뜻과 성질계산기본
2.CLP-2 · 1.2절 · 2번우리말 번역

∫0bcos⁡x dx=sin⁡b\displaystyle\int_0^b \cos x\ \mathrm{d}x=\sin b 이면, ∫abcos⁡x dx\displaystyle\int_a^b \cos x\ \mathrm{d}x 의 값은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

If ∫0bcos⁡x dx=sin⁡b\displaystyle\int_0^b \cos x\ \mathrm{d}x=\sin b, then what is ∫abcos⁡x dx\displaystyle\int_a^b \cos x\ \mathrm{d}x?

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

등식

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx , we see∫abcos⁡x dx=∫a0cos⁡x dx+∫0bcos⁡x dx=−∫0acos⁡x dx+∫0bcos⁡x dx=−sin⁡a+sin⁡b=sin⁡b−sin⁡a\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^c f(x)\ \mathrm{d}x+ \int\limits_c^b f(x)\ \mathrm{d}x\ , \\ \text{ we see} \\ \int\limits_a^b\cos x\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^0 \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\&= -\int\limits_0^a \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin a + \sin b\\ &=\sin b - \sin a \end{aligned}

을 이용하면 위와 같이 구할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the identity

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx , we see∫abcos⁡x dx=∫a0cos⁡x dx+∫0bcos⁡x dx=−∫0acos⁡x dx+∫0bcos⁡x dx=−sin⁡a+sin⁡b=sin⁡b−sin⁡a\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^c f(x)\ \mathrm{d}x+ \int\limits_c^b f(x)\ \mathrm{d}x\ , \\ \text{ we see} \\ \int\limits_a^b\cos x\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^0 \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\&= -\int\limits_0^a \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin a + \sin b\\ &=\sin b - \sin a \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 3번
# 정적분의 뜻과 성질계산기본자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.CLP-2 · 1.2절 · 4번우리말 번역

f(x)f(x) 가 양의 값만 갖는 함수일 때, ∫50f(x) dx\int\limits_5^0 f(x)\ \mathrm{d}x 를 어림하기 위해 구간 100개로 오른쪽 리만 합을 만들려고 한다.

(a) Δx\Delta x 는 얼마인지 구하세요. (b) 직사각형의 높이는 양수인지 음수인지 판단하세요. (c) 리만 합은 양수인지 음수인지 판단하세요. (d) x=0x=0 부터 x=5x=5 까지 곡선 y=f(x)y=f(x) 아래의 부호 있는 넓이는 양수인지 음수인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Suppose we want to make a right Riemann sum with 100 intervals to approximate ∫50f(x) dx\int\limits_5^0 f(x)\ \mathrm{d}x, where f(x)f(x) is a function that gives only positive values.

(a) What is Δx\Delta x? (b) Are the heights of our rectangles positive or negative? (c) Is our Riemann sum positive or negative? (d) Is the signed area under the curve y=f(x)y=f(x) from x=0x=0 to x=5x=5 positive or negative?

정답·풀이 보기

(a) Δx=b−an=0−5100=−120\Delta x = \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0-5}{100} = -\dfrac{1}{20}

참고: 정적분의 리만 합 정의를 사용한다면, 이것이 등식 ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x 를 정당화하는 방법이다. (b) 직사각형의 높이는 f(xi)f(x_i) 로 주어지며, 여기서 xi=a+iΔx=5−i20x_i = a+i\Delta x = 5 - \frac{i}{20} 이다. f(x)f(x) 는 양의 값만 가지므로 f(xi)>0f(x_i) >0 이고, 따라서 직사각형의 높이는 양수이다. (c) 리만 합은 각 직사각형의 부호 있는 넓이의 합이다. 각 직사각형은 음수인 밑변(Δx\Delta x)과 양수인 높이(f(xi)f(x_i))를 가진다. 따라서 합의 각 항은 음수이다. 음수들을 더하면 합은 음수이다. 그러므로 리만 합은 음수이다. (d) f(x)f(x) 는 항상 xx축 위쪽에 있으므로 ∫05f(x)dx\int\limits_0^5 f(x)\mathrm{d}x 는 양수이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Δx=b−an=0−5100=−120\Delta x = \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0-5}{100} = -\dfrac{1}{20}

Note: if we were to use the Riemann-sum definition of a definite integral, this is how we would justify the identity ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x. (b) The heights of the rectangles are given by f(xi)f(x_i), where xi=a+iΔx=5−i20x_i = a+i\Delta x = 5 - \frac{i}{20}. Since f(x)f(x) only gives positive values, f(xi)>0f(x_i) >0, so the heights of the rectangles are positive. (c) Our Riemann sum is the sum of the signed areas of individual rectangles. Each rectangle has a negative base (Δx\Delta x) and a positive height (f(xi)f(x_i)). So, each term of our sum is negative. If we add up negative numbers, the sum is negative. So, the Riemann sum is negative. (d) Since f(x)f(x) is always above the xx-axis, ∫05f(x)dx\int\limits_0^5 f(x)\mathrm{d}x is positive.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 12번
# 정적분의 뜻과 성질계산기본자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)