다변수 미분 전체 연습문제

101.CLP-3 · 2.9절 · 32번대학 수준우리말 번역

$xy$ 평면 위의 한 점에서의 온도 $T(x,y)$ 가 다음과 같이 주어져 있다.

$T(x,y) = 20 - 4x^2 - y^2$

(a) $x^2 + y^2 \le 4$ 로 정의된 원판 $D$ 에서 $T(x,y)$ 의 최댓값과 최솟값을 구하세요. (b) 개미가 원판 $D$ 위에 산다고 하자. 개미가 처음에 점 $(1, 1)$ 에 있다면, 온도를 가능한 한 빠르게 높이려면 어느 방향으로 움직여야 하는지 구하세요. (c) 개미가 속도 $\mathbf{v} = \left< -2, -1\right>$ 로 움직인다고 하자. 개미가 $(1, 1)$ 을 지날 때 온도의 증가율을 구하세요. (d) 개미가 곡선 $y = 2 - x^2$ 위에만 머물러야 한다고 하자. 개미가 가능한 한 따뜻하기를 원한다면 어디로 가야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

The temperature $T(x,y)$ at a point of the $xy$ –plane is given by

$T(x,y) = 20 - 4x^2 - y^2$

(a) Find the maximum and minimum values of $T(x,y)$ on the disk $D$ defined by $x^2 + y^2 \le 4$ . (b) Suppose an ant lives on the disk $D$ . If the ant is initially at point $(1, 1)$ , in which direction should it move so as to increase its temperature as quickly as possible? (c) Suppose that the ant moves at a velocity $\mathbf{v} = \left< -2, -1\right>$ . What is its rate of increase of temperature as it passes through $(1, 1)$ ? (d) Suppose the ant is constrained to stay on the curve $y = 2 - x^2$ . Where should the ant go if it wants to be as warm as possible?

정답·풀이 보기

(a) 최댓값과 최솟값은 원판의 내부 또는 원판의 경계에서 나타날 수 있다. 원판의 경계는 원 $x^2+y^2=4$ 이다.

원판 내부에서의 절대 최댓값 또는 절대 최솟값은 반드시 극댓값 또는 극솟값이기도 하고, 특이점이 없으므로 $h$ 의 임계점이기도 하다. $T_x=-8x$ , $T_y=-2y$ 이므로 유일한 임계점은 $(x,y)=(0,0)$ 이고, 이때 $T=20$ 이다. $4x^2+y^2\ge 0$ 이므로 $T(x,y)=20-4x^2-y^2\le 20$ 이다. 따라서 $T$ 의 최댓값은 ( $\mathbb{R}^2$ 전체에서도) $20$ 이다.
$x^2+y^2=4$ 위의 각 점에서 $T(x,y)=20-4x^2-y^2=20 -4x^2-(4-x^2)=16-3x^2$ 이고 $-2\le x\le 2$ 이다. 따라서 $x^2$ 이 최대일 때 $T$ 는 최소이다. 그러므로 원판에서 $T$ 의 최솟값은 $16-3(\pm 2)^2=4$ 이다.

따라서 종합하면, $x^2+y^2\le 4$ 에서 $T(x,y)$ 의 최댓값과 최솟값은 각각 $20$ (점 $(0,0)$ 에서), $4$ (점 $(\pm 2,0)$ 에서)이다.

(b) 온도를 가능한 한 빠르게 높이려면 개미는 온도의 기울기 벡터 방향으로 움직여야 한다. ${ \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)=\left< -8x,-2y\right>\Big|_{(x,y)=(1,1)}=\left< -8,-2\right>$ . 이 방향의 단위벡터는 $\frac{1}{\sqrt{17}}\left< -4,-1\right>$ 이다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot\left< -2,-1\right> =\left< -8,-2\right>\cdot\left< -2,-1\right> =18 \end{aligned}$

(d) 다음을 최대로 하는 $(x,y)=(x,2-x^2)$ 을 구하는 문제이다.

$\begin{aligned} T\big(x,2-x^2\big) =20 -4x^2-\big(2-x^2\big)^2 = 16-x^4 \end{aligned}$

$16-x^4$ 의 최댓값은 $x=0$ 일 때 $16$ 임이 분명하다. 따라서 개미는 $\big(0,2-0^2\big)=(0,2)$ 로 가야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The maximum and minimum can occur either in the interior of the disk or on the boundary of the disk. The boundary of the disk is the circle $x^2+y^2=4$ .

Any absolute max or min in the interior of the disk must also be a local max or min and, since there are no singular points, must also be a critical point of $h$ . Since $T_x=-8x$ and $T_y=-2y$ , the only critical point is $(x,y)=(0,0)$ , where $T=20$ . Since $4x^2+y^2\ge 0$ , we have $T(x,y)=20-4x^2-y^2\le 20$ . So the maximum value of $T$ (even in $\mathbb{R}^2$ ) is $20$ .
At each point of $x^2+y^2=4$ we have $T(x,y)=20-4x^2-y^2=20 -4x^2-(4-x^2)=16-3x^2$ with $-2\le x\le 2$ . So $T$ is a minimum when $x^2$ is a maximum. Thus the minimum value of $T$ on the disk is $16-3(\pm 2)^2=4$ .

So all together, the maximum and minimum values of $T(x,y)$ in $x^2+y^2\le 4$ are $20$ (at $(0,0)$ ) and $4$ (at $(\pm 2,0)$ ), respectively.

(b) To increase its temperature as quickly as possible, the ant should move in the direction of the temperature gradient ${ \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)=\left< -8x,-2y\right>\Big|_{(x,y)=(1,1)}=\left< -8,-2\right>$ . A unit vector in that direction is $\frac{1}{\sqrt{17}}\left< -4,-1\right>$ .

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot\left< -2,-1\right> =\left< -8,-2\right>\cdot\left< -2,-1\right> =18 \end{aligned}$

(d) We are being asked to find the $(x,y)=(x,2-x^2)$ which maximizes

$\begin{aligned} T\big(x,2-x^2\big) =20 -4x^2-\big(2-x^2\big)^2 = 16-x^4 \end{aligned}$

The maximum of $16-x^4$ is obviously $16$ at $x=0$ . So the ant should go to $\big(0,2-0^2\big)=(0,2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 8번

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