문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수함수의 극한과 연속

여러 경로로 다가가 극한의 존재를 판단하고 연속성을 확인한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 2.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)$ 가 다음을 만족시키는 함수라고 하자. $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ .

참 또는 거짓: $|f(0.1,0.1)-10|<|f(0.2,0.2)-10|$

영어 원문 보기

Suppose $f(x,y)$ is a function such that $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ .

True or false: $|f(0.1,0.1)-10|<|f(0.2,0.2)-10|$

정답·풀이 보기

일반적으로 이 명제는 거짓이다. $f(x,y)=12-(1-10x)^2-(1-10y)^2$ 을 생각하자.

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=12-1-1=10$ (이 함수는 연속이다)
$f(0.1,0.1)=12-(1-1)^2-(1-1)^2=12$
$f(0.2,0.2)=12-(1-2)^2-(1-2)^2=10$

우리는 흔히 (다소 안이하게) 극한 “ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ " 을 $(x,y)$ 가 원점에 가까워질수록 $f(x,y)$ 가 10 에 점점 가까워진다는 뜻으로 해석한다. 그러나 극한의 정의가 뜻하는 바는 정확히 이것이 아니다. 정의가 말해 주는 것은, $(x,y)$ 를 $(0,0)$ 에 충분히 가깝게 택하면 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가깝도록 보장할 수 있다는 것이다.

$(0,0)$ 에 가깝지 않은 어떤 $(x,y)$ 에 대해서도 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가까울 수 있다. 게다가 $f(x,y)$ 가 10 에 “매우 가까워지려면" $(0,0)$ 에 얼마나 가까이 가야 하는지는 알 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, this is false. Consider $f(x,y)=12-(1-10x)^2-(1-10y)^2$ .

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=12-1-1=10$ (the function is continuous)
$f(0.1,0.1)=12-(1-1)^2-(1-1)^2=12$
$f(0.2,0.2)=12-(1-2)^2-(1-2)^2=10$

We often (somewhat lazily) interpret the limit “ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ " to mean that, as $(x,y)$ gets closer and closer to the origin, $f(x,y)$ gets closer and closer to 10. This isn't exactly what the definition means, though. The definition tells us that, we can guarantee that $f(x,y)$ be very close to 10 by choosing $(x,y)$ very close to $(0,0)$ .

The function $f(x,y)$ can also be very close to 10 for some $(x,y)$ 's that are not close to $(0,0)$ . Moreover, we don't know how close to $(0,0)$ we have to be in order for $f(x,y)$ to be “very close" to 10.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 3번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인기본자동 분류

2.CLP-3 · 2.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ 이라 하자.

(a) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=1$ 인 것을 구하세요. (b) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=0$ 인 것을 구하세요. (c) 위의 결과는 $f(x,y)$ 의 극한에 대해 무엇을 보여 주는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ .

(a) Find a ray approaching the origin along which $f(x,y)=1$ . (b) Find a ray approaching the origin along which $f(x,y)=0$ . (c) What does the above work show about a limit of $f(x,y)$ ?

정답·풀이 보기

(a) 살펴보면, $y=0$ 일 때 $x \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=1$ 이다. 따라서 $x$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=1$ 이다. (b) 마찬가지로 살펴보면, $x=0$ 일 때 $y \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=0$ 이다. 따라서 $y$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=0$ 이다. (c) 원점에 접근하는 서로 다른 두 방향이 서로 다른 값을 주므로 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By inspection, when $y=0$ , then $f(x,y)=1$ as long as $x \neq 0$ . So, if we follow the $x$ -axis in towards the origin, $f(x,y)=1$ along this route. (b) Also by inspection, when $x=0$ , then $f(x,y)=0$ as long as $y \neq 0$ . So, if we follow the $y$ -axis in towards the origin, $f(x,y)=0$ along this route. (c) Since two different directions give us different values as we approach the origin, $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 7번

# 다변수함수의 극한과 연속계산기본자동 분류