문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

접평면과 선형근사

곡면의 접평면·법선, 선형근사와 전미분, 미분가능성을 다룬다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 2.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

물체의 비중 $S$ 는 $\ S=\frac{A}{A-W}\$ 로 주어진다. 여기서 $A$ 는 공기 중에서 잰 물체의 무게이고 $W$ 는 물속에서 잰 물체의 무게이다. $\ A=20\pm .01\$ 이고 $\ W=12\pm.02\$ 일 때, 주어진 측정값으로 $S$ 를 계산할 때의 백분율 오차를 어림하여 구하세요.

영어 원문 보기

The specific gravity $S$ of an object is given by $\ S=\frac{A}{A-W}\$ where $A$ is the weight of the object in air and $W$ is the weight of the object in water. If $\ A=20\pm .01\$ and $\ W=12\pm.02\$ find the approximate percentage error in calculating $S$ from the given measurements.

정답·풀이 보기

선형 근사에 의해

$\begin{aligned} \Delta S\approx \frac{\partial S}{\partial A}(20,12)\,\Delta A +\frac{\partial S}{\partial W}(20,12)\,\Delta W \end{aligned}$

이고, $S(A,W)=\frac{A}{A-W} =1+\frac{W}{A-W}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} S(A,W)&=\frac{A}{A-W} & S(20,12)&=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}\\ S_A(A,W)&=-\frac{W}{(A-W)^2} & S_A(20,12)&=-\frac{12}{8^2}=-\frac{3}{16}\\ S_W(A,W)&=\frac{A}{(A-W)^2} & S_W(20,12)&=\frac{20}{8^2}=\frac{5}{16} \end{aligned}$

주어진 임의의 $\Delta A$ 와 $\Delta W$ 에 대해 백분율 오차는

$\left|100\frac{\Delta S}{S}\right| =\left|100\frac{2}{5}\Big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\Big)\right|$

이다. 문제에서 $|\Delta A|\le 0.01$ 이고 $|\Delta W|\le 0.02$ 이다. $\big|100\frac{2}{5}\big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\big)\big|$ 를 최대로 하려면 $\Delta A=- 0.01$ , $\Delta W=+ 0.02$ 로 잡는다. 따라서 최대 백분율 오차는

$100\frac{2}{5}\left[-\frac{3}{16}(- 0.01)+\frac{5}{16}(0.02)\right] = \frac{2}{5}\times \frac{13}{16} =\frac{13}{40}=0.325\%$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the linear approximation

$\begin{aligned} \Delta S\approx \frac{\partial S}{\partial A}(20,12)\,\Delta A +\frac{\partial S}{\partial W}(20,12)\,\Delta W \end{aligned}$

with $S(A,W)=\frac{A}{A-W} =1+\frac{W}{A-W}$ . So

For any given $\Delta A$ and $\Delta W$ , the percentage error is

$\left|100\frac{\Delta S}{S}\right| =\left|100\frac{2}{5}\Big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\Big)\right|$

We are told that $|\Delta A|\le 0.01$ and $|\Delta W|\le 0.02$ . To maximize $\big|100\frac{2}{5}\big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\big)\big|$ take $\Delta A=- 0.01$ and $\Delta W=+ 0.02$ . So the maximum percentage error is

$100\frac{2}{5}\left[-\frac{3}{16}(- 0.01)+\frac{5}{16}(0.02)\right] = \frac{2}{5}\times \frac{13}{16} =\frac{13}{40}=0.325\%$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 6번

# 접평면과 선형근사활용보통자동 분류

2.CLP-3 · 2.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

금속의 두께가 0.04cm일 때, 지름이 8cm이고 높이가 12cm인 닫힌 금속 캔에 들어 있는 금속의 부피를 미분을 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

Use differentials to estimate the volume of metal in a closed metal can with diameter 8cm and height 12cm if the metal is 0.04cm thick.

정답·풀이 보기

지름이 $d$ 이고 높이가 $h$ 인 원기둥의 부피는 $V(d,h)=\pi\big(\frac{d}{2}\big)^2h$ 이다. 이 문제의 표현은 주어진 치수가 안쪽 치수인지 바깥쪽 치수인지 밝히지 않아 다소 모호하다. 바깥쪽 치수라고 가정하자. 그러면 금속을 포함한 캔의 부피는 $V(8,12)$ 이고, 금속을 제외한 안쪽 부피는

$\begin{aligned} V(8-2\times0.04\,,\,12-2\times 0.04) &\approx V(8,12) +V_d(8,12)(-2\times 0.04) +V_h(8,12)(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) +\frac{1}{2}\pi\times 8\times 12\times(-2\times 0.04) +\pi\left(\frac{8}{2}\right)^2\!\!(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) -\pi\times 128\times 0.04 \end{aligned}$

이다. 따라서 금속의 부피는 약 $\pi\times 128\times 0.04= 5.12\pi\approx 16.1$ cc 이다. (이 정도의 근사에서는 주어진 치수가 안쪽 치수이든 바깥쪽 치수이든 상관없다.)

원본 교재 풀이(영어)

The volume of a cylinder of diameter $d$ and height $h$ is $V(d,h)=\pi\big(\frac{d}{2}\big)^2h$ . The wording of the question is a bit ambiguous in that it does not specify if the given dimensions are inside dimensions or outside dimensions. Assume that they are outside dimensions. Then the volume of the can, including the metal, is $V(8,12)$ and the volume of the interior, excluding the metal, is

So the volume of metal is approximately $\pi\times 128\times 0.04= 5.12\pi\approx 16.1$ cc. (To this level of approximation, it doesn't matter whether the dimensions are inside or outside dimensions.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 9번

# 접평면과 선형근사활용보통자동 분류