접평면과 선형근사 연습문제

1.OpenStax 3권 · 4.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

직원기둥의 부피는 $V(r,h)=\pi {r}^{2}h$ 로 주어진다. 전미분 $dV$ 를 구하세요. 이 식을 기하학적으로 해석하세요.

영어 원문 보기

The volume of a right circular cylinder is given by $V(r,h)=\pi {r}^{2}h.$ Find the differential $dV.$ Interpret the formula geometrically.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 7번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

2.OpenStax 3권 · 4.4절 · 35번대학 수준우리말 번역

앞의 문제를 보세요. 전미분을 이용하여, 지름이 $8.0\,\text{cm}$ 이고 높이가 $12\,\text{cm}$ 인 밀폐된 알루미늄 캔에서 알루미늄의 두께가 $0.04$ cm 일 때 알루미늄의 부피를 어림하세요.

영어 원문 보기

See the preceding problem. Use differentials to estimate the volume of aluminum in an enclosed aluminum can with diameter $8.0\,\text{cm}$ and height $12\,\text{cm}$ if the aluminum is $0.04$ cm thick.

정답·풀이 보기

$16$ cm³

원본 교재 풀이(영어)

$16$ cm³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 7번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

3.OpenStax 3권 · 4.4절 · 38번대학 수준우리말 번역

원운동을 하는 입자의 구심 가속도는 $a(r,v)=\frac{{v}^{2}}{r}$ 로 주어진다. 여기서 $v$ 는 속도이고 $r$ 은이다. $v$ 에서 $3\%$ 의 오차가, $r$ 에서 $2\%$ 의 오차가 생길 때, 가속도를 측정할 때 생기는 최대 백분율 오차를 어림하세요. (백분율 오차는 원래의 양에 대한 오차의 양의 비임을 떠올리세요. 따라서 이 경우 $a$ 의 백분율 오차는 $\frac{da}{a}.)$ 로 주어진다.

영어 원문 보기

The centripetal acceleration of a particle moving in a circle is given by $a(r,v)=\frac{{v}^{2}}{r},$ where $v$ is the velocity and $r$ is the radius of the circle. Approximate the maximum percent error in measuring the acceleration resulting from errors of $3\%$ in $v$ and $2\%$ in $r.$ (Recall that the percentage error is the ratio of the amount of error over the original amount. So, in this case, the percentage error in $a$ is given by $\frac{da}{a}.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 21번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

4.OpenStax 3권 · 4.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

직원뿔의 밑면의 반지름과 높이를 각각 $10$ 인치, $25$ 인치로 측정했으며, 측정값에는 각각 최대 $0.1$ 인치의 오차가 있을 수 있습니다. 미분을 이용하여 이 원뿔의 계산된 부피의 최대 오차를 어림하세요.

영어 원문 보기

The base radius and height of a right circular cone are measured as $10$ in. and $25$ in., respectively, with a possible error in measurement of as much as $0.1$ in. each. Use differentials to estimate the maximum error in the calculated volume of the cone.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 7번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

5.OpenStax 3권 · 4.4절 · 42번대학 수준우리말 번역

축의 길이가 $2a$ 와 $2b$ 인 타원의 넓이는 다음 공식으로 주어집니다.

$A=\pi ab.$ $a$ 가 $2\%$ 증가하고 $b$ 가 $1.5\%$ 증가할 때, 넓이의 변화율(%)을 어림하세요.

영어 원문 보기

The area of an ellipse with axes of length $2a$ and $2b$ is given by the formula

$A=\pi ab.$ Approximate the percent change in the area when $a$ increases by $2\%$ and $b$ increases by $1.5\%.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 25번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

6.OpenStax 3권 · 4.4절 · 43번대학 수준우리말 번역

진폭이 작은 단진자의 주기 $T$ 는 공식 $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ 으로 계산합니다. 여기서 $L$ 은 진자의 길이이고 $g$ 는 중력으로 인한 가속도입니다. $L$ 과 $g$ 의 오차가 각각 최대 $0.5\%$ , $0.1\%$ 라고 합시다. 미분을 이용하여 계산된 $T$ 값의 최대 백분율 오차를 어림하세요.

영어 원문 보기

The period $T$ of a simple pendulum with small oscillations is calculated from the formula $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}},$ where $L$ is the length of the pendulum and $g$ is the acceleration resulting from gravity. Suppose that $L$ and $g$ have errors of, at most, $0.5\%$ and $0.1\%,$ respectively. Use differentials to approximate the maximum percentage error in the calculated value of $T.$

답 쓰고 채점

%

정답·풀이 보기

$0.3\%$

원본 교재 풀이(영어)

$0.3\%$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 11번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

7.APEX · 12.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16번은 근삿값 오차와 민감도 분석에 관한 다양한 질문을 다룹니다.

원기둥 모양의 저장 탱크를 높이 2ft, 반지름 1ft로 만들려고 한다. 탱크의 부피는 반지름의 변화와 높이의 변화 중 어느 쪽에 더 민감한가?

영어 원문 보기

Exercises 13–16 ask a variety of questions dealing with approximating error and sensitivity analysis.

A cylindrical storage tank is to be 2ft tall with a radius of 1ft. Is the volume of the tank more sensitive to changes in the radius or the height?

정답·풀이 보기

부피의 전미분은 $dV = 4\pi dr + \pi dh$ 이다. $dr$ 의 계수가 $dh$ 의 계수보다 크므로 부피는 반지름의 변화에 더 민감하다.

원본 교재 풀이(영어)

The total differential of volume is $dV = 4\pi dr + \pi dh$ . The coefficient of $dr$ is greater than the coefficient of $dh$ , so the volume is more sensitive to changes in the radius.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 10번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

8.APEX · 12.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16번은 오차의 근삿값과 민감도 분석에 관한 여러 가지 문제를 다룬다.

포물체 운동: 포물체 운동의 원리에 따라 움직이는 물체의 $x$ 값은 $x(\theta,v_0,t)= (v_0\cos\theta)t$ 이다. 어떤 포물체를 처음 속도 $v_0=250$ ft/s, 발사각 $\theta = 60^\circ$ 로 쏘아 올렸다. 이 물체는 3초 동안 $375$ ft를 이동한다.

포물체는 처음 속력의 오차와 발사각의 오차 중 어느 쪽에 더 민감한지 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 13–16 ask a variety of questions dealing with approximating error and sensitivity analysis.

Projectile Motion: The $x$ -value of an object moving under the principles of projectile motion is $x(\theta,v_0,t)= (v_0\cos\theta)t$ . A particular projectile is fired with an initial velocity of $v_0=250$ ft/s and an angle of elevation of $\theta = 60^\circ$ . It travels a distance of $375$ ft in 3 seconds.

Is the projectile more sensitive to errors in initial speed or angle of elevation?

정답·풀이 보기

포물체의 이동 거리는 ( $t=3$ 으로 두면) 두 변수의 함수 $D(v_0,\theta) = 3v_0\cos\theta$ 이다. $D$ 의 전미분은 $dD = 3\cos\theta dv_0-3v_0\sin\theta d\theta$ 이다. $d\theta$ 의 계수의 크기가 $dv_0$ 의 계수의 크기보다 훨씬 크므로, 발사각의 작은 변화가 처음 속도의 작은 변화보다 이동 거리에 훨씬 큰 영향을 준다.

원본 교재 풀이(영어)

Distance of the projectile is a function of two variables (leaving $t=3$ ): $D(v_0,\theta) = 3v_0\cos\theta$ . The total differential of $D$ is $dD = 3\cos\theta dv_0-3v_0\sin\theta d\theta$ . The coefficient of $d\theta$ has a much greater magnitude than the coefficient of $dv_0$ , so a small change in the angle of elevation has a much greater effect on distance traveled than a small change in initial velocity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 39번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

9.APEX · 12.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$f(x,y) = \frac12x^2+2y^2-8y+4x$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$f(x,y) = \frac12x^2+2y^2-8y+4x$

정답·풀이 보기

임계점은 $(-4,2)$ 하나이다. $f_{xx} = 1$ 이고 $D = 4$ 이므로 이 점은 극솟값에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point at $(-4,2)$ ; $f_{xx} = 1$ and $D = 4$ , so this point corresponds to a relative minimum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.4절 · 2번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

10.APEX · 12.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$f(x,y) = x^2+4x+y^2-9y+3xy$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$f(x,y) = x^2+4x+y^2-9y+3xy$

정답·풀이 보기

임계점은 $(7,-6)$ 하나이다. $D = -5$ 이므로 이 점은 안장점에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point at $(7,-6)$ ; $D = -5$ , so this point corresponds to a saddle point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 29번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

11.APEX · 12.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$f(x,y) = x^2+3y^2-6y+4xy$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$f(x,y) = x^2+3y^2-6y+4xy$

정답·풀이 보기

임계점은 $(6,-3)$ 하나이다. $D = -4$ 이므로 이 점은 안장점에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point at $(6,-3)$ ; $D = -4$ , so this point corresponds to a saddle point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 18번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

12.APEX · 12.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac1{x^2+y^2+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = \frac1{x^2+y^2+1}$

정답·풀이 보기

임계점은 $(0,0)$ 하나이다. $f_{xx} = -2$ 이고 $D = 4$ 이므로 이 점은 극댓값에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point at $(0,0)$ ; $f_{xx} = -2$ and $D = 4$ , so this point corresponds to a relative maximum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 24번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

13.APEX · 12.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^3-3y+1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^3-3y+1$

정답·풀이 보기

임계점은 두 개이다. $(0,-1)$ 에서 $f_{xx} = 2$ 이고 $D = -12$ 이므로 이 점은 안장점에 해당한다.

$(0,1)$ 에서 $f_{xx} = 2$ 이고 $D = 12$ 이므로 이 점은 극솟값에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

Two critical points: at $(0,-1)$ ; $f_{xx} = 2$ and $D = -12$ , so this point corresponds to a saddle point;

at $(0,1)$ , $f_{xx} = 2$ and $D = 12$ , so this corresponds to a relative minimum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 19번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

14.APEX · 12.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac13x^3-x+\frac13y^3-4y$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = \frac13x^3-x+\frac13y^3-4y$

정답·풀이 보기

임계점은 4개이다.

$(-1,-2)$ 극대, $(1,-2)$ 안장점,

$(-1,2)$ 안장점, $(1,2)$ 극소.

여기서 $f_{xx} = 2x$ 이고 $D = 4xy$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

There are 4 critical points:

$(-1,-2)$ , rel. max; $(1,-2)$ , saddle point;

$(-1,2)$ , saddle point; $(1,2)$ , rel. min.,

where $f_{xx} = 2x$ and $D = 4xy$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 15번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

15.APEX · 12.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2y^2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = x^2y^2$

정답·풀이 보기

$x=0$ 또는 $y=0$ 일 때마다 임계점이 되므로 임계점은 무수히 많다. $D = -12x^2y^2$ 이므로 각 임계점에서 $D = 0$ 이고 판정할 수 없다. (간단히 생각해 보면 각 임계점이 모두 최솟값임을 알 수 있다.)

원본 교재 풀이(영어)

There are infinite critical points, whenever $x=0$ or $y=0$ . With $D = -12x^2y^2$ , at each critical point $D = 0$ and the test is inconclusive. (Some elementary thought shows that each is an absolute minimum.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 15번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

16.APEX · 12.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 무엇에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^4-2x^2+y^3-27y-15$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = x^4-2x^2+y^3-27y-15$

정답·풀이 보기

임계점은 6개이다: $x=-1,0$ 그리고 1일 때 $f_x = 0$ 이고, $y = -3,3$ 일 때 $f_y = 0$ 이다. 이를 합하면 다음 점들을 얻는다:

$(-1,-3)$ 안장점; $(-1,3)$ 극솟값

$(0,-3)$ 극댓값; $(0,3)$ 안장점

$(1,-3)$ 안장점; $(1,3)$ 극솟값

여기서 $f_{xx} = 12x^2-4$ 이고 $D = 24y(3x^2-1)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Six critical points: $f_x = 0$ when $x=-1,0$ and 1; $f_y = 0$ when $y = -3,3$ . Together, we get the points:

$(-1,-3)$ saddle point; $(-1,3)$ rel. min

$(0,-3)$ rel. max; $(0,3)$ saddle point

$(1,-3)$ saddle point; $(1,3)$ relative min

where $f_{xx} = 12x^2-4$ and $D = 24y(3x^2-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 49번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

17.APEX · 12.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 무엇에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{16-(x-3)^2-y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{16-(x-3)^2-y^2}$

정답·풀이 보기

임계점은 1개이다: $x=3$ 일 때 $f_x = 0$ 이고, $y = 0$ 일 때 $f_y = 0$ 이므로 임계점은 $(3,0)$ 하나이며, 이 점은 극댓값이다. 여기서 $f_{xx} = \frac{y^2-16}{(16-(x-3)^2-y^2)^{3/2}}$ 이고 $D = \frac{16}{(16-(x-3)^2-y^2)^{2}}$ 이다.

원 $(x-3)^2+y^2=16$ 위의 모든 점에서 $f_x$ 와 $f_y$ 는 모두 정의되지 않는다. 이 곡선 위의 어느 점에서든 $f(x,y)=0$ 이며, 이는 이 함수의 최솟값이다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point: $f_x = 0$ when $x=3$ ; $f_y = 0$ when $y = 0$ , so one critical point at $(3,0)$ , which is a relative maximum, where $f_{xx} = \frac{y^2-16}{(16-(x-3)^2-y^2)^{3/2}}$ and $D = \frac{16}{(16-(x-3)^2-y^2)^{2}}$ .

Both $f_x$ and $f_y$ are undefined along the circle $(x-3)^2+y^2=16$ ; at any point along this curve, $f(x,y)=0$ , the absolute minimum of the function.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 4번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

18.APEX · 12.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 무엇에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$

정답·풀이 보기

임계점은 1개이다: $x=0$ 일 때 $f_x = 0$ 이고, $y = 0$ 일 때 $f_y = 0$ 이므로 임계점은 $(0,0)$ 하나이다 (다만 $(0,0)$ 에서는 $f_x$ 와 $f_y$ 가 모두 정의되지 않음에 유의해야 한다). $(0,0)$ 에서 $D=0$ 이므로 2계 도함수 판정법은 적용되지 않는다. 그래프나 간단한 계산으로 $(0,0)$ 이 $f$ 의 최솟값임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point: $f_x = 0$ when $x=0$ ; $f_y = 0$ when $y = 0$ , so one critical point at $(0,0)$ (although it should be noted that at $(0,0)$ , both $f_x$ and $f_y$ are undefined.) The Second Derivative Test fails at $(0,0)$ , with $D=0$ . A graph, or simple calculation, shows that $(0,0)$ is the absolute minimum of $f$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 1번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

19.CLP-3 · 2.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

물체의 비중 $S$ 는 $\ S=\frac{A}{A-W}\$ 로 주어진다. 여기서 $A$ 는 공기 중에서 잰 물체의 무게이고 $W$ 는 물속에서 잰 물체의 무게이다. $\ A=20\pm .01\$ 이고 $\ W=12\pm.02\$ 일 때, 주어진 측정값으로 $S$ 를 계산할 때의 백분율 오차를 어림하여 구하세요.

영어 원문 보기

The specific gravity $S$ of an object is given by $\ S=\frac{A}{A-W}\$ where $A$ is the weight of the object in air and $W$ is the weight of the object in water. If $\ A=20\pm .01\$ and $\ W=12\pm.02\$ find the approximate percentage error in calculating $S$ from the given measurements.

정답·풀이 보기

선형 근사에 의해

$\begin{aligned} \Delta S\approx \frac{\partial S}{\partial A}(20,12)\,\Delta A +\frac{\partial S}{\partial W}(20,12)\,\Delta W \end{aligned}$

이고, $S(A,W)=\frac{A}{A-W} =1+\frac{W}{A-W}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} S(A,W)&=\frac{A}{A-W} & S(20,12)&=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}\\ S_A(A,W)&=-\frac{W}{(A-W)^2} & S_A(20,12)&=-\frac{12}{8^2}=-\frac{3}{16}\\ S_W(A,W)&=\frac{A}{(A-W)^2} & S_W(20,12)&=\frac{20}{8^2}=\frac{5}{16} \end{aligned}$

주어진 임의의 $\Delta A$ 와 $\Delta W$ 에 대해 백분율 오차는

$\left|100\frac{\Delta S}{S}\right| =\left|100\frac{2}{5}\Big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\Big)\right|$

이다. 문제에서 $|\Delta A|\le 0.01$ 이고 $|\Delta W|\le 0.02$ 이다. $\big|100\frac{2}{5}\big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\big)\big|$ 를 최대로 하려면 $\Delta A=- 0.01$ , $\Delta W=+ 0.02$ 로 잡는다. 따라서 최대 백분율 오차는

$100\frac{2}{5}\left[-\frac{3}{16}(- 0.01)+\frac{5}{16}(0.02)\right] = \frac{2}{5}\times \frac{13}{16} =\frac{13}{40}=0.325\%$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the linear approximation

$\begin{aligned} \Delta S\approx \frac{\partial S}{\partial A}(20,12)\,\Delta A +\frac{\partial S}{\partial W}(20,12)\,\Delta W \end{aligned}$

with $S(A,W)=\frac{A}{A-W} =1+\frac{W}{A-W}$ . So

$\begin{aligned} S(A,W)&=\frac{A}{A-W} & S(20,12)&=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}\\ S_A(A,W)&=-\frac{W}{(A-W)^2} & S_A(20,12)&=-\frac{12}{8^2}=-\frac{3}{16}\\ S_W(A,W)&=\frac{A}{(A-W)^2} & S_W(20,12)&=\frac{20}{8^2}=\frac{5}{16} \end{aligned}$

For any given $\Delta A$ and $\Delta W$ , the percentage error is

$\left|100\frac{\Delta S}{S}\right| =\left|100\frac{2}{5}\Big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\Big)\right|$

We are told that $|\Delta A|\le 0.01$ and $|\Delta W|\le 0.02$ . To maximize $\big|100\frac{2}{5}\big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\big)\big|$ take $\Delta A=- 0.01$ and $\Delta W=+ 0.02$ . So the maximum percentage error is

$100\frac{2}{5}\left[-\frac{3}{16}(- 0.01)+\frac{5}{16}(0.02)\right] = \frac{2}{5}\times \frac{13}{16} =\frac{13}{40}=0.325\%$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 6번

# 접평면과 선형근사활용보통자동 분류

20.CLP-3 · 2.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

금속의 두께가 0.04cm일 때, 지름이 8cm이고 높이가 12cm인 닫힌 금속 캔에 들어 있는 금속의 부피를 미분을 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

Use differentials to estimate the volume of metal in a closed metal can with diameter 8cm and height 12cm if the metal is 0.04cm thick.

정답·풀이 보기

지름이 $d$ 이고 높이가 $h$ 인 원기둥의 부피는 $V(d,h)=\pi\big(\frac{d}{2}\big)^2h$ 이다. 이 문제의 표현은 주어진 치수가 안쪽 치수인지 바깥쪽 치수인지 밝히지 않아 다소 모호하다. 바깥쪽 치수라고 가정하자. 그러면 금속을 포함한 캔의 부피는 $V(8,12)$ 이고, 금속을 제외한 안쪽 부피는

$\begin{aligned} V(8-2\times0.04\,,\,12-2\times 0.04) &\approx V(8,12) +V_d(8,12)(-2\times 0.04) +V_h(8,12)(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) +\frac{1}{2}\pi\times 8\times 12\times(-2\times 0.04) +\pi\left(\frac{8}{2}\right)^2\!\!(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) -\pi\times 128\times 0.04 \end{aligned}$

이다. 따라서 금속의 부피는 약 $\pi\times 128\times 0.04= 5.12\pi\approx 16.1$ cc 이다. (이 정도의 근사에서는 주어진 치수가 안쪽 치수이든 바깥쪽 치수이든 상관없다.)

원본 교재 풀이(영어)

The volume of a cylinder of diameter $d$ and height $h$ is $V(d,h)=\pi\big(\frac{d}{2}\big)^2h$ . The wording of the question is a bit ambiguous in that it does not specify if the given dimensions are inside dimensions or outside dimensions. Assume that they are outside dimensions. Then the volume of the can, including the metal, is $V(8,12)$ and the volume of the interior, excluding the metal, is

$\begin{aligned} V(8-2\times0.04\,,\,12-2\times 0.04) &\approx V(8,12) +V_d(8,12)(-2\times 0.04) +V_h(8,12)(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) +\frac{1}{2}\pi\times 8\times 12\times(-2\times 0.04) +\pi\left(\frac{8}{2}\right)^2\!\!(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) -\pi\times 128\times 0.04 \end{aligned}$

So the volume of metal is approximately $\pi\times 128\times 0.04= 5.12\pi\approx 16.1$ cc. (To this level of approximation, it doesn't matter whether the dimensions are inside or outside dimensions.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 9번

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