매개변수와 극좌표 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 7.2절 · 44번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수 곡선과 주어진 매개변수 범위로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $x=2a\,\cos \,t-a\,\cos (2t),y=2a\,\sin \,t-a\,\sin (2t),0\le t<2\pi$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the regions bounded by the parametric curves and the indicated values of the parameter.

[T] $x=2a\,\cos \,t-a\,\cos (2t),y=2a\,\sin \,t-a\,\sin (2t),0\le t<2\pi$

답 쓰고 채점

풀이 보기

닫힌 매개변수 곡선이 둘러싼 넓이는 $\frac{1}{2}\int (x\,y'-y\,x')\,dt$ 로 계산해요.

1
왜 이렇게 할까요? 곡선이 $0\le t<2\pi$ 에서 한 바퀴 돌아 닫히므로, 반시계 방향으로 한 바퀴 돈 닫힌 곡선이 둘러싼 넓이 공식 $A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt$ 를 쓸 수 있어요. (이 곡선은 심장 모양의 곡선이에요.)
2
도함수를 구해요. $x'=-2a\sin t+2a\sin 2t,\qquad y'=2a\cos t-2a\cos 2t$
3
$x y'-y x'$ 를 전개해요. $xy'=4a^2\cos^2 t-6a^2\cos t\cos 2t+2a^2\cos^2 2t$ $yx'=-4a^2\sin^2 t+6a^2\sin t\sin 2t-2a^2\sin^2 2t$
4
빼서 정리해요. $\sin^2+\cos^2=1$ 과 코사인 차 공식 $\cos t\cos 2t+\sin t\sin 2t=\cos t$ 를 쓰면 $xy'-yx'=4a^2-6a^2\cos t+2a^2=6a^2-6a^2\cos t$
5
적분해요. $A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(6a^2-6a^2\cos t\right)dt=\frac{1}{2}\Big[6a^2t-6a^2\sin t\Big]_0^{2\pi}=\frac{1}{2}\cdot 12\pi a^2=6\pi a^2$

답

$6\pi a^2$

자주 하는 실수

공식 앞의 $\frac{1}{2}$ 을 빼먹거나, 삼각함수 전개에서 부호를 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

$6\pi {a}^{2}$

매개변수와 극좌표 전체 문제