매개변수와 극좌표 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 7.2절 · 12번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 기울기를 갖는 곡선 위의 점을 모두 구하세요.

$\begin{array}{cc}x=t+\frac{1}{t}, & y=t-\frac{1}{t},\,\text{기울기}=1\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points on the curve that have the given slope.

$\begin{array}{cc}x=t+\frac{1}{t}, & y=t-\frac{1}{t},\,\text{slope}=1\end{array}$

풀이 보기

매개변수 곡선의 기울기는 $\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 이고, 이 값이 1 이 되는 $t$ 가 있는지 따져 봐요.

1
왜 이렇게 할까요? $x$ , $y$ 가 모두 $t$ 로 주어졌으니 기울기 $\frac{dy}{dx}$ 는 $\frac{dy}{dt}$ 를 $\frac{dx}{dt}$ 로 나눠서 구해요.
2
각각 $t$ 로 미분해요. $\frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{t^2},\qquad \frac{dy}{dt}=1+\frac{1}{t^2}$
3
기울기를 식으로 써요. $\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{1}{t^2}}{1-\frac{1}{t^2}}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\quad (t\ne 0,\ t\ne\pm1)$ 분자와 분모에 $t^2$ 을 곱해서 분수를 없앴어요.
4
기울기가 1 인 $t$ 를 찾아요. $\frac{t^2+1}{t^2-1}=1 \;\Longrightarrow\; t^2+1=t^2-1 \;\Longrightarrow\; 1=-1$ 말이 되지 않는 식이 나왔어요. 이런 $t$ 는 없어요.
5
결론. 기울기가 1 이 되는 점은 곡선 위에 없어요. (참고로 $x^2-y^2=4$ 인 쌍곡선인데, 점근선의 기울기가 1 이라서 기울기가 1 에 한없이 가까워질 뿐 같아지지는 않아요.)

답

조건을 만족하는 점이 없다 (기울기 $\frac{t^2+1}{t^2-1}$ 은 1 이 될 수 없다)

자주 하는 실수

$\frac{dx}{dt}=0$ 이 되는 $t=\pm1$ 에서 기울기가 정의되지 않는다는 점을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

No points possible; undefined expression.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 44번

# 매개변수 곡선의 미적분계산보통

2.OpenStax 2권 · 7.2절 · 44번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수 곡선과 주어진 매개변수 범위로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $x=2a\,\cos \,t-a\,\cos (2t),y=2a\,\sin \,t-a\,\sin (2t),0\le t<2\pi$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the regions bounded by the parametric curves and the indicated values of the parameter.

[T] $x=2a\,\cos \,t-a\,\cos (2t),y=2a\,\sin \,t-a\,\sin (2t),0\le t<2\pi$

답 쓰고 채점

풀이 보기

닫힌 매개변수 곡선이 둘러싼 넓이는 $\frac{1}{2}\int (x\,y'-y\,x')\,dt$ 로 계산해요.

1
왜 이렇게 할까요? 곡선이 $0\le t<2\pi$ 에서 한 바퀴 돌아 닫히므로, 반시계 방향으로 한 바퀴 돈 닫힌 곡선이 둘러싼 넓이 공식 $A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt$ 를 쓸 수 있어요. (이 곡선은 심장 모양의 곡선이에요.)
2
도함수를 구해요. $x'=-2a\sin t+2a\sin 2t,\qquad y'=2a\cos t-2a\cos 2t$
3
$x y'-y x'$ 를 전개해요. $xy'=4a^2\cos^2 t-6a^2\cos t\cos 2t+2a^2\cos^2 2t$ $yx'=-4a^2\sin^2 t+6a^2\sin t\sin 2t-2a^2\sin^2 2t$
4
빼서 정리해요. $\sin^2+\cos^2=1$ 과 코사인 차 공식 $\cos t\cos 2t+\sin t\sin 2t=\cos t$ 를 쓰면 $xy'-yx'=4a^2-6a^2\cos t+2a^2=6a^2-6a^2\cos t$
5
적분해요. $A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(6a^2-6a^2\cos t\right)dt=\frac{1}{2}\Big[6a^2t-6a^2\sin t\Big]_0^{2\pi}=\frac{1}{2}\cdot 12\pi a^2=6\pi a^2$

답

$6\pi a^2$

자주 하는 실수

공식 앞의 $\frac{1}{2}$ 을 빼먹거나, 삼각함수 전개에서 부호를 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

$6\pi {a}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 26번

# 매개변수 곡선의 미적분계산도전

3.OpenStax 2권 · 7.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 매개변수 t 를 소거하여 곡선의 그래프를 그리세요. 곡선의 방향을 구하세요.

$x={t}^{2}+2t,$ $y=t+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the curves below by eliminating the parameter t. Give the orientation of the curve.

$x={t}^{2}+2t,$ $y=t+1$

정답·풀이 보기

오른쪽으로 열린 포물선이며, (−1, 0)이 가장 왼쪽에 있는 점이다. 화살표는 아래쪽에서 시작하여 (−1, 0)을 지나 위쪽으로 향한다.

방향: 아래에서 위로

원본 교재 풀이(영어)

A parabola open to the right with (−1, 0) being the point furthest the left with arrow going from the bottom through (−1, 0) and up.

orientation: bottom to top

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 3번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 2권 · 7.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 매개변수 t 를 소거하여 곡선의 그래프를 그리세요. 곡선의 방향을 구하세요.

$x=\cos (t),y=\sin (t),(0,2\pi ]$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the curves below by eliminating the parameter t. Give the orientation of the curve.

$x=\cos (t),y=\sin (t),(0,2\pi ]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.2절 · 2번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 2권 · 7.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 매개변수 t 를 소거하여 곡선의 그래프를 그리세요. 곡선의 방향을 구하세요.

$x=2t+4,y=t-1$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the curves below by eliminating the parameter t. Give the orientation of the curve.

$x=2t+4,y=t-1$

정답·풀이 보기

(0, −3)과 (6, 0)을 지나는 직선이며, 화살표가 오른쪽 위를 향한다.

방향: 왼쪽에서 오른쪽

원본 교재 풀이(영어)

A straight line passing through (0, −3) and (6, 0) with arrow pointing up and to the right.

orientation: left to right

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 5번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 2권 · 7.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 매개변수 t 를 소거하여 곡선의 그래프를 그리세요. 곡선의 방향을 구하세요.

$x=3-t,y=2t-3,1.5\le t\le 3$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the curves below by eliminating the parameter t. Give the orientation of the curve.

$x=3-t,y=2t-3,1.5\le t\le 3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 55번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 2권 · 7.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 매개변수를 소거하고 그래프를 그리세요.

$x=2{t}^{2},\quad y={t}^{4}+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, eliminate the parameter and sketch the graphs.

$x=2{t}^{2},\quad y={t}^{4}+1$

정답·풀이 보기

$y=\frac{{x}^{2}}{4}+1$

원점에서 시작하여 (2, 2)를 지나는 포물선의 절반이며, 화살표가 오른쪽 위를 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac{{x}^{2}}{4}+1$

Half a parabola starting at the origin and passing through (2, 2) with arrow pointed up and to the right.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 7번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 2권 · 7.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 공학용 도구(컴퓨터 대수 시스템 또는 계산기)를 사용하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $\begin{array}{cc}x={t}^{2}+t, & y={t}^{2}-1\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use technology (CAS or calculator) to sketch the parametric equations.

[T] $\begin{array}{cc}x={t}^{2}+t, & y={t}^{2}-1\end{array}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 33번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 2권 · 7.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서는 공학용 도구(컴퓨터 대수 시스템 또는 계산기)를 사용하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $\begin{array}{cc}x={e}^{-t}, & y={e}^{2t}-1\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use technology (CAS or calculator) to sketch the parametric equations.

[T] $\begin{array}{cc}x={e}^{-t}, & y={e}^{2t}-1\end{array}$

정답·풀이 보기

점 (1, 0)과 (0, 3)을 지나는 곡선이며, 화살표가 위쪽과 왼쪽을 향하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

A curve going through (1, 0) and (0, 3) with arrow pointing up and to the left.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 31번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 2권 · 7.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 공학 도구(컴퓨터 대수 시스템 또는 계산기)를 사용하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $\begin{array}{cc}x=3\,\cos \,t, & y=4\,\sin \,t\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use technology (CAS or calculator) to sketch the parametric equations.

[T] $\begin{array}{cc}x=3\,\cos \,t, & y=4\,\sin \,t\end{array}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 17번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 2권 · 7.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 공학 도구(컴퓨터 대수 시스템 또는 계산기)를 사용하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $\begin{array}{cc}x=\sec \,t, & y=\cos \,t\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use technology (CAS or calculator) to sketch the parametric equations.

[T] $\begin{array}{cc}x=\sec \,t, & y=\cos \,t\end{array}$

정답·풀이 보기

x축과 y축을 점근선으로 갖는 그래프이다. 그래프의 일부는 제3사분면에 있고, 화살표가 오른쪽 아래를 향한다. 또 다른 일부는 제1사분면에 있고, 화살표가 오른쪽 아래를 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

A graph with asymptotes at the x and y axes. There is a portion of the graph in the third quadrant with arrow pointing down and to the right. There is a portion of the graph in the first quadrant with arrow pointing down and to the right.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 1번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 2권 · 7.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수를 소거하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요. 그래프의 점근선이 있으면 나타내세요.

$x={e}^{t},\quad y={e}^{2t}+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric equations by eliminating the parameter. Indicate any asymptotes of the graph.

$x={e}^{t},\quad y={e}^{2t}+1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 57번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 2권 · 7.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수를 소거하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요. 그래프의 점근선이 있으면 나타내세요.

$x=6\,\sin (2\theta ),y=4\,\cos (2\theta )$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric equations by eliminating the parameter. Indicate any asymptotes of the graph.

$x=6\,\sin (2\theta ),y=4\,\cos (2\theta )$

정답·풀이 보기

원점을 중심으로 하는 타원이다. 짧은 축(단축)은 세로 방향이고 길이가 8이며, 긴 축(장축)은 가로 방향이고 길이가 12이다. 화살표는 시계 방향으로 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

An ellipse with minor axis vertical and of length 8 and major axis horizontal and of length 12 that is centered at the origin. The arrows go clockwise.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 29번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 2권 · 7.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수를 소거하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요. 그래프의 점근선이 있으면 나타내세요.

$\begin{array}{cc}x=\cos \,\theta , & y=2\,\sin (2\theta )\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric equations by eliminating the parameter. Indicate any asymptotes of the graph.

$\begin{array}{cc}x=\cos \,\theta , & y=2\,\sin (2\theta )\end{array}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 61번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

15.OpenStax 2권 · 7.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수를 소거하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요. 그래프의 점근선이 있으면 나타내세요.

$\begin{array}{cc}x=3-2\,\cos \,\theta , & y=-5+3\,\sin \,\theta \end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric equations by eliminating the parameter. Indicate any asymptotes of the graph.

$\begin{array}{cc}x=3-2\,\cos \,\theta , & y=-5+3\,\sin \,\theta \end{array}$

정답·풀이 보기

제4사분면에 있는 타원이다. 단축은 가로 방향이고 길이가 4이며, 장축은 세로 방향이고 길이가 6이다. 화살표는 시계 방향으로 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

An ellipse in the fourth quadrant with minor axis horizontal and of length 4 and major axis vertical and of length 6. The arrows go clockwise.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 11번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 2권 · 7.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수를 소거하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요. 그래프의 점근선이 있으면 나타내세요.

$\begin{array}{cc}x=4+2\,\cos \,\theta , & y=-1+\sin \,\theta \end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric equations by eliminating the parameter. Indicate any asymptotes of the graph.

$\begin{array}{cc}x=4+2\,\cos \,\theta , & y=-1+\sin \,\theta \end{array}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 27번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

17.OpenStax 2권 · 7.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 매개변수를 소거하여 매개변수 방정식의 그래프를 그리세요. 그래프의 점근선이 있으면 나타내세요.

$\begin{array}{cc}x=\sec \,t, & y=\tan \,t\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric equations by eliminating the parameter. Indicate any asymptotes of the graph.

$\begin{array}{cc}x=\sec \,t, & y=\tan \,t\end{array}$

정답·풀이 보기

점근선이 y = x 와 y = −x 인 그래프이다. 그래프의 첫째 부분은 제2사분면과 제3사분면에 걸쳐 있으며 꼭짓점은 (−1, 0)이다. 그래프의 둘째 부분은 제1사분면과 제4사분면에 걸쳐 있으며 꼭짓점은 (1, 0)이다.

점근선은 $y=x$ 와 $y=-x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

A graph with asymptotes at y = x and y = −x. The first part of the graph occurs in the second and third quadrants with vertex at (−1, 0). The second part of the graph occurs in the first and fourth quadrants with vertex as (1, 0).

Asymptotes are $y=x$ and $y=-x$