매개변수 곡선의 미적분

왜 이렇게 할까요? $x$, $y$ 가 모두 $t$ 로 주어졌으니 기울기 $\frac{dy}{dx}$ 는 $\frac{dy}{dt}$ 를 $\frac{dx}{dt}$ 로 나눠서 구해요.

각각 $t$ 로 미분해요. $$\frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{t^2},\qquad \frac{dy}{dt}=1+\frac{1}{t^2}$$

기울기를 식으로 써요. $$\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{1}{t^2}}{1-\frac{1}{t^2}}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\quad (t\ne 0,\ t\ne\pm1)$$ 분자와 분모에 $t^2$ 을 곱해서 분수를 없앴어요.

기울기가 1 인 $t$ 를 찾아요. $$\frac{t^2+1}{t^2-1}=1 \;\Longrightarrow\; t^2+1=t^2-1 \;\Longrightarrow\; 1=-1$$ 말이 되지 않는 식이 나왔어요. 이런 $t$ 는 없어요.

결론. 기울기가 1 이 되는 점은 곡선 위에 없어요. (참고로 $x^2-y^2=4$ 인 쌍곡선인데, 점근선의 기울기가 1 이라서 기울기가 1 에 한없이 가까워질 뿐 같아지지는 않아요.)

왜 이렇게 할까요? 곡선이 $0\le t<2\pi$ 에서 한 바퀴 돌아 닫히므로, 반시계 방향으로 한 바퀴 돈 닫힌 곡선이 둘러싼 넓이 공식 $$A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt$$ 를 쓸 수 있어요. (이 곡선은 심장 모양의 곡선이에요.)

도함수를 구해요. $$x'=-2a\sin t+2a\sin 2t,\qquad y'=2a\cos t-2a\cos 2t$$

$x y'-y x'$ 를 전개해요. $$xy'=4a^2\cos^2 t-6a^2\cos t\cos 2t+2a^2\cos^2 2t$$ $$yx'=-4a^2\sin^2 t+6a^2\sin t\sin 2t-2a^2\sin^2 2t$$

빼서 정리해요. $\sin^2+\cos^2=1$ 과 코사인 차 공식 $\cos t\cos 2t+\sin t\sin 2t=\cos t$ 를 쓰면 $$xy'-yx'=4a^2-6a^2\cos t+2a^2=6a^2-6a^2\cos t$$

적분해요. $$A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(6a^2-6a^2\cos t\right)dt=\frac{1}{2}\Big[6a^2t-6a^2\sin t\Big]_0^{2\pi}=\frac{1}{2}\cdot 12\pi a^2=6\pi a^2$$