급수의 수렴과 발산

$n$ 번째 던지기에서 두 번째 앞면이 나오려면, 앞의 $n-1$ 번 중 앞면이 정확히 1번이고 $n$ 번째가 앞면이어야 해요. 앞면이 나올 자리를 고르는 방법이 $n-1$ 가지이므로 확률은 다음과 같아요.

$$P(n)=(n-1)\left(\frac12\right)^{n}$$

짝수 번째만 모으면 되니까 $n=2m$ ($m=1,2,3,\dots$) 으로 놓아요.

$$P(2m)=\frac{2m-1}{2^{2m}}=\frac{2m-1}{4^{m}}$$

구하는 확률은 $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}$ 이에요.

식을 둘로 쪼개요. 각각 계산하기 쉬운 급수가 되기 때문이에요.

$$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}=2\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac14\right)^{m}-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{m}$$

$|x|<1$ 일 때 $\sum_{m=1}^{\infty}x^m=\frac{x}{1-x}$ 이고 $\sum_{m=1}^{\infty}m x^m=\frac{x}{(1-x)^2}$ 이에요. $x=\frac14$ 를 넣으면

$$\sum m\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{(3/4)^2}=\frac49,\qquad \sum\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$$

따라서 확률은 다음과 같아요.

$$2\cdot\frac49-\frac13=\frac89-\frac39=\frac59$$