문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

급수의 수렴과 발산

부분합의 극한으로 급수의 합을 구하고, aₙ→0 조건으로 발산을 판단한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번우리말 풀이

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 짝수 번째 던지기에서일 확률을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the probability that a fair coin will come up heads for the second time after an even number of flips.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$n$ 번째에서 두 번째 앞면이 나올 확률을 식으로 쓰고, 짝수 $n$ 에 대해 모두 더하면 급수가 돼요.

1
$n$ 번째 던지기에서 두 번째 앞면이 나오려면, 앞의 $n-1$ 번 중 앞면이 정확히 1번이고 $n$ 번째가 앞면이어야 해요. 앞면이 나올 자리를 고르는 방법이 $n-1$ 가지이므로 확률은 다음과 같아요.

$P(n)=(n-1)\left(\frac12\right)^{n}$
2
짝수 번째만 모으면 되니까 $n=2m$ ( $m=1,2,3,\dots$ ) 으로 놓아요.

$P(2m)=\frac{2m-1}{2^{2m}}=\frac{2m-1}{4^{m}}$

구하는 확률은 $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}$ 이에요.
3
식을 둘로 쪼개요. 각각 계산하기 쉬운 급수가 되기 때문이에요.

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}=2\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac14\right)^{m}-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{m}$
4
$|x|<1$ 일 때 $\sum_{m=1}^{\infty}x^m=\frac{x}{1-x}$ 이고 $\sum_{m=1}^{\infty}m x^m=\frac{x}{(1-x)^2}$ 이에요. $x=\frac14$ 를 넣으면

$\sum m\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{(3/4)^2}=\frac49,\qquad \sum\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$
5
따라서 확률은 다음과 같아요.

$2\cdot\frac49-\frac13=\frac89-\frac39=\frac59$

답

$\dfrac59$

자주 하는 실수

두 번째 앞면이 나오는 확률을 $\left(\frac12\right)^n$ 으로만 쓰고 앞의 $n-1$ 번 중 앞면 자리를 고르는 경우의 수 $(n-1)$ 을 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$5/9$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번

# 급수의 수렴과 발산활용도전

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 58번우리말 번역

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 3의 배수 번째 던지기에서 일어날 확률을 나타내는 급수를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find a series that expresses the probability that a fair coin will come up heads for the second time on a multiple of three flips.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 19번

# 급수의 수렴과 발산활용자동 분류

3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 62번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 약물은 평균적인 환자의 몸속에 체중 1 kg당 적어도 $1$ mg이 있어야만 효과가 있고, 평균적인 환자의 몸속에 체중 1 kg당 많아야 $2$ mg이 있어야만 안전하다. 투약 후 환자의 몸속에 있는 약물의 양이 매시간 $0.9$ 의 일정한 비율로 곱해져 줄어든다고 하자. 이 약물을 장기적으로 안전하고 효과적으로 사용할 수 있도록 하는, 투약 간격의 최대 시간 $N$ 과, 이 $N$ 에 대응하는 투약량의 범위 $d$ (단위: mg/kg)를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A certain drug is effective for an average patient only if there is at least $1$ mg per kg in the patient’s system, while it is safe only if there is at most $2$ mg per kg in an average patient’s system. Suppose that the amount in a patient’s system diminishes by a multiplicative factor of $0.9$ each hour after a dose is administered. Find the maximum interval $N$ of hours between doses, and corresponding dose range $d$ (in mg/kg) for this $N$ that will enable use of the drug to be both safe and effective in the long term.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 31번

# 급수의 수렴과 발산활용자동 분류