급수의 수렴과 발산 연습문제

1.CLP-2 · 3.2절 · 29번우리말 번역

무한히 긴 평평한 절벽에 질량을 무시할 수 있는 가는 철사에 매달린 돌들이 있다. 위치 $x=1$ 에서 시작하여, 1미터마다(위치 $x$ 에서, 여기서 $x$ 는 0 이상의 정수) 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 절벽 꼭대기에서 $2^x$ 미터 아래에 매달려 있다.

영어 원문 보기

An infinitely long, flat cliff has stones hanging off it, attached to thin wire of negligible mass. Starting at position $x=1$ , every metre (at position $x$ , where $x$ is some whole number) the stone has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg and is hanging $2^x$ metres below the top of the cliff.

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위치 $x$ 에 있는 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 이 돌을 $2^x$ 미터만큼 끌어올려야 하므로, 돌 하나를 옮기는 데 필요한 일은 $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ 이다. 따라서 모든 돌을 옮기는 데 필요한 일은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{x=1}^{\infty}\frac{9.8}{2^x}& =\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2^{x+1}}\\ &=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{2^{x}} =\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac12}=9.8 \text{ J} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The stone at position $x$ has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg, and we have to pull it a distance of $2^x$ metres, so the work involved in moving that one stone is $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ Therefore, the work to move all the stones is:

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 69번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류

2.CLP-2 · 3.2절 · 33번우리말 번역

다음 방법으로 과녁을 만드세요.

넓이가 1인 빨간 원에서 시작하여, 반지름을 3등분해서 두 개의 고리와 하나의 원을 만든다. 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

안쪽 원에 대해서도 같은 방식을 계속한다. 그 반지름을 3등분하고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

이와 같이 끝없이 계속한다. 가장 안쪽 원의 반지름을 3등분하여 두 개의 고리와 또 하나의 원을 만들고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

빨간색 부분의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Create a bullseye using the following method:

Starting with a red circle of area 1, divide the radius into thirds, creating two rings and a circle. Colour the middle ring blue.

Continue the pattern with the inside circle: divide its radius into thirds, and colour the middle ring blue.

Continue in this way indefinitely: dividing the radius of the innermost circle into thirds, creating two rings and another circle, and colouring the middle ring blue.

What is the area of the red portion?

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정답·풀이 보기

반지름이 $R$ 인 원을 생각하자. 이 원에는 $\frac{R}{3}$ 에서 $\frac{2R}{3}$ 까지의 “안쪽 고리"와 $\frac{2R}{3}$ 에서 $R$ 까지의 “바깥쪽 고리"가 있다.

바깥쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

안쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

따라서 바깥쪽 고리의 넓이에 대한 안쪽 고리의 넓이의 비는 $\frac{3}{5}$ 이다.

과녁 그림에서 빨간 고리와 그 바로 안쪽에 있는 파란 고리를 짝지으면, 파란 고리의 넓이는 빨간 고리 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다. 그러므로 과녁의 파란색 부분의 넓이는 빨간색 부분 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다.

원의 넓이가 1이므로, 빨간색 부분의 넓이를 $A$ 라 하면 $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$ 이다.

따라서 빨간색 부분의 넓이는 $\frac{5}{8}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We consider a circle of radius $R$ , with an “inner ring" from $\frac{R}{3}$ to $\frac{2R}{3}$ and an “outer ring" from $\frac{2R}{3}$ to $R$ .

The area of the outer ring is: $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

The area of the inner ring is: $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

So, the ratio of the inner ring's area to the outer ring's area is $\frac{3}{5}$ .

In our bullseye diagram, if we pair up any red ring with the blue ring just inside it, the blue ring has $\frac{3}{5}$ the area of the red ring. So, the blue portion of the bullseye has $\frac{3}{5}$ the area of the red portion.

Since the circle has area 1, if we let the red portion have area $A$ , then $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$

So, the red portion has area $\frac{5}{8}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 27번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류