빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

보존 벡터장

보존장 판정, 퍼텐셜 함수 찾기, 선적분의 기본정리를 쓴다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

1문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-4 · 2.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 각 명제를 증명하거나, 반례를 찾으세요.

a. F\mathbf{F} 가 보존장이고 G\mathbf{G} 가 비보존장이면, F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 비보존장이다. b. F\mathbf{F} 와 G\mathbf{G} 가 모두 비보존장이면, F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 비보존장이다. c. F\mathbf{F} 와 G\mathbf{G} 가 모두 보존장이면, F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 보존장이다.

영어 원문 보기

Prove, or find a counterexample to, each of the following statements.

a. If F\mathbf{F} is a conservative field and G\mathbf{G} is a non-conservative field, then F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is non-conservative. b. If F\mathbf{F} and G\mathbf{G} are both non-conservative fields, then F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is non-conservative. c. If F\mathbf{F} and G\mathbf{G} are both conservative fields, then F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative.

정답·풀이 보기

a. 어떤 F\mathbf{F}, G\mathbf{G} 에 대해 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 가 보존장이라고 하면, 정의에 따라 F+G=∇φ\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi 를 만족하는 퍼텐셜 φ\varphi 가 존재한다.

F\mathbf{F} 가 보존장이므로, F=∇ψ\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi 를 만족하는 퍼텐셜 ψ\psi 도 존재한다.

그러면 G=(F+G)−F=∇φ−∇ψ=∇(φ−ψ)\mathbf{G} = (\mathbf{F}+\mathbf{G})-\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi - { \boldsymbol{\nabla} } \psi = { \boldsymbol{\nabla} }(\varphi-\psi) 이다. 즉 함수 (φ−ψ)(\varphi-\psi) 는 GG 의 퍼텐셜이다. 그러나 이는 불가능하다. G\mathbf{G} 가 비보존장이므로 이러한 성질을 갖는 함수는 존재하지 않기 때문이다.

따라서 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 가 보존장일 수는 없다. 즉 비보존장이다. b. 반례: F=−G\mathbf{F} = -\mathbf{G} 이면, 임의의 상수 cc 에 대해 F+G=0=∇c\mathbf{F}+\mathbf{G} = \mathbf 0 = { \boldsymbol{\nabla} } c 이다. c. 두 장이 모두 보존장이므로 둘 다 퍼텐셜을 갖는다. 이를 F=∇φ\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi, G=∇ψ\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi 라 하자. 그러면 F+G=∇φ+∇ψ=∇(φ+ψ)\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} }\varphi+{ \boldsymbol{\nabla} }\psi={ \boldsymbol{\nabla} }(\varphi+\psi) 이다. 즉 (φ+ψ)(\varphi+\psi) 는 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 의 퍼텐셜이므로 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 보존장이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. If F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative for any particular F\mathbf{F} and G\mathbf{G}, then by definition, there exists a potential φ\varphi with F+G=∇φ\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi.

Since F\mathbf{F} is conservative, there also exists a potential ψ\psi with F=∇ψ\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi.

But now G=(F+G)−F=∇φ−∇ψ=∇(φ−ψ)\mathbf{G} = (\mathbf{F}+\mathbf{G})-\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi - { \boldsymbol{\nabla} } \psi = { \boldsymbol{\nabla} }(\varphi-\psi). That means the function (φ−ψ)(\varphi-\psi) is a potential for GG. However, this is impossible: since G\mathbf{G} is non-conservative, no function with this property exists.

So it is not possible that F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative. It must be non-conservative. b. Counterexample: if F=−G\mathbf{F} = -\mathbf{G}, then F+G=0=∇c\mathbf{F}+\mathbf{G} = \mathbf 0 = { \boldsymbol{\nabla} } c for any constant cc. c. Since both fields are conservative, they both have potentials, say F=∇φ\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi and G=∇ψ\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi. Then F+G=∇φ+∇ψ=∇(φ+ψ)\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} }\varphi+{ \boldsymbol{\nabla} }\psi={ \boldsymbol{\nabla} }(\varphi+\psi). That is, (φ+ψ)(\varphi+\psi) is a potential for F+G\mathbf{F}+\mathbf{G}, so F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 7번
# 보존 벡터장증명·논술기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)