빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

보존 벡터장

보존장 판정, 퍼텐셜 함수 찾기, 선적분의 기본정리를 쓴다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
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7문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 6.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 컴퓨터를 이용하여 다음 벡터장이 보존적임을 보이세요. 주어진 곡선에 대해 ∫CF⋅dr{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r} 의 값을 구하세요.

F=2xy2+1i−2y(x2+1)(y2+1)2j;\text{F}=\frac{2x}{{y}^{2}+1}\text{i}-\frac{2y({x}^{2}+1)}{{({y}^{2}+1)}^{2}}\text{j}; C 는 x=t3−1,y=t6−t,0≤t≤1x={t}^{3}-1,y={t}^{6}-t,0\le t\le 1 로 매개변수화된다.

영어 원문 보기

For the following exercises, show that the following vector fields are conservative by using a computer. Calculate ∫CF⋅dr{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r} for the given curve.

F=2xy2+1i−2y(x2+1)(y2+1)2j;\text{F}=\frac{2x}{{y}^{2}+1}\text{i}-\frac{2y({x}^{2}+1)}{{({y}^{2}+1)}^{2}}\text{j}; C is parameterized by x=t3−1,y=t6−t,0≤t≤1.x={t}^{3}-1,y={t}^{6}-t,0\le t\le 1.

정답·풀이 보기

∫CF⋅dr=−1{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r}=-1

원본 교재 풀이(영어)

∫CF⋅dr=−1{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r}=-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 11번
# 보존 벡터장증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 6.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 컴퓨터를 이용하여 다음 벡터장이 보존적임을 보이세요. 주어진 곡선에 대해 ∫CF⋅dr{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r} 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] F=[cos⁡(xy2)−xy2sin⁡(xy2)]i−2x2y sin⁡(xy2)j;\text{F}=[\cos (x{y}^{2})-x{y}^{2}\sin (x{y}^{2})]\text{i}-2{x}^{2}y\,\sin (x{y}^{2})\text{j}; C 는 곡선 r(t)=<et,et+1>,−1≤t≤0r(t)=<{e}^{t},{e}^{t+1}>,-1\le t\le 0 이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, show that the following vector fields are conservative by using a computer. Calculate ∫CF⋅dr{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r} for the given curve.

[T] F=[cos⁡(xy2)−xy2sin⁡(xy2)]i−2x2y sin⁡(xy2)j;\text{F}=[\cos (x{y}^{2})-x{y}^{2}\sin (x{y}^{2})]\text{i}-2{x}^{2}y\,\sin (x{y}^{2})\text{j}; C is curve r(t)=<et,et+1>,−1≤t≤0.r(t)=<{e}^{t},{e}^{t+1}>,-1\le t\le 0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 23번
# 보존 벡터장증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 3권 · 6.3절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 컴퓨터를 이용하여 주어진 벡터장이 보존적임을 보이세요. 주어진 곡선에 대해 ∫CF⋅dr{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r} 의 값을 구하세요.

∫Ccos⁡x cos⁡ydx−sin⁡x sin⁡ydy{\int }_{C}\cos x\,\cos ydx-\sin x\,\sin ydy 의 값을 구하세요. 단, c(t)=<t,t2>,0≤t≤1\text{c}(t)=<t,{t}^{2}>,0\le t\le 1 입니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, show that the following vector fields are conservative by using a computer. Calculate ∫CF⋅dr{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r} for the given curve.

Compute ∫Ccos⁡x cos⁡ydx−sin⁡x sin⁡ydy,{\int }_{C}\cos x\,\cos ydx-\sin x\,\sin ydy, where c(t)=<t,t2>,0≤t≤1.\text{c}(t)=<t,{t}^{2}>,0\le t\le 1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 37번
# 보존 벡터장증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.CLP-4 · 2.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 각 명제를 증명하거나, 반례를 찾으세요.

a. F\mathbf{F} 가 보존장이고 G\mathbf{G} 가 비보존장이면, F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 비보존장이다. b. F\mathbf{F} 와 G\mathbf{G} 가 모두 비보존장이면, F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 비보존장이다. c. F\mathbf{F} 와 G\mathbf{G} 가 모두 보존장이면, F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 보존장이다.

영어 원문 보기

Prove, or find a counterexample to, each of the following statements.

a. If F\mathbf{F} is a conservative field and G\mathbf{G} is a non-conservative field, then F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is non-conservative. b. If F\mathbf{F} and G\mathbf{G} are both non-conservative fields, then F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is non-conservative. c. If F\mathbf{F} and G\mathbf{G} are both conservative fields, then F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative.

정답·풀이 보기

a. 어떤 F\mathbf{F}, G\mathbf{G} 에 대해 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 가 보존장이라고 하면, 정의에 따라 F+G=∇φ\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi 를 만족하는 퍼텐셜 φ\varphi 가 존재한다.

F\mathbf{F} 가 보존장이므로, F=∇ψ\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi 를 만족하는 퍼텐셜 ψ\psi 도 존재한다.

그러면 G=(F+G)−F=∇φ−∇ψ=∇(φ−ψ)\mathbf{G} = (\mathbf{F}+\mathbf{G})-\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi - { \boldsymbol{\nabla} } \psi = { \boldsymbol{\nabla} }(\varphi-\psi) 이다. 즉 함수 (φ−ψ)(\varphi-\psi) 는 GG 의 퍼텐셜이다. 그러나 이는 불가능하다. G\mathbf{G} 가 비보존장이므로 이러한 성질을 갖는 함수는 존재하지 않기 때문이다.

따라서 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 가 보존장일 수는 없다. 즉 비보존장이다. b. 반례: F=−G\mathbf{F} = -\mathbf{G} 이면, 임의의 상수 cc 에 대해 F+G=0=∇c\mathbf{F}+\mathbf{G} = \mathbf 0 = { \boldsymbol{\nabla} } c 이다. c. 두 장이 모두 보존장이므로 둘 다 퍼텐셜을 갖는다. 이를 F=∇φ\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi, G=∇ψ\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi 라 하자. 그러면 F+G=∇φ+∇ψ=∇(φ+ψ)\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} }\varphi+{ \boldsymbol{\nabla} }\psi={ \boldsymbol{\nabla} }(\varphi+\psi) 이다. 즉 (φ+ψ)(\varphi+\psi) 는 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 의 퍼텐셜이므로 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 보존장이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. If F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative for any particular F\mathbf{F} and G\mathbf{G}, then by definition, there exists a potential φ\varphi with F+G=∇φ\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi.

Since F\mathbf{F} is conservative, there also exists a potential ψ\psi with F=∇ψ\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi.

But now G=(F+G)−F=∇φ−∇ψ=∇(φ−ψ)\mathbf{G} = (\mathbf{F}+\mathbf{G})-\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi - { \boldsymbol{\nabla} } \psi = { \boldsymbol{\nabla} }(\varphi-\psi). That means the function (φ−ψ)(\varphi-\psi) is a potential for GG. However, this is impossible: since G\mathbf{G} is non-conservative, no function with this property exists.

So it is not possible that F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative. It must be non-conservative. b. Counterexample: if F=−G\mathbf{F} = -\mathbf{G}, then F+G=0=∇c\mathbf{F}+\mathbf{G} = \mathbf 0 = { \boldsymbol{\nabla} } c for any constant cc. c. Since both fields are conservative, they both have potentials, say F=∇φ\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi and G=∇ψ\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi. Then F+G=∇φ+∇ψ=∇(φ+ψ)\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} }\varphi+{ \boldsymbol{\nabla} }\psi={ \boldsymbol{\nabla} }(\varphi+\psi). That is, (φ+ψ)(\varphi+\psi) is a potential for F+G\mathbf{F}+\mathbf{G}, so F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 7번
# 보존 벡터장증명·논술기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.CLP-4 · 2.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

F(x,y)=(x+y)ı^+(x−y)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-y)\hat{\boldsymbol{\jmath}} 의 퍼텐셜 φ\varphi 를 구하거나, 퍼텐셜이 존재하지 않음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Find a potential φ\varphi for F(x,y)=(x+y)ı^+(x−y)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-y)\hat{\boldsymbol{\jmath}}, or prove none exists.

정답·풀이 보기

φ\varphi 가 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

  • ∂φ∂x=x+y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x+y 이므로 φ=12x2+xy+ψ1(y)\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=x−y\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x-y 이므로 φ=xy−12y2+ψ2(x)\varphi = xy-\frac{1}{2}y^2+\psi_2(x)

따라서 예를 들어 φ=12x2+xy−12y2\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy-\frac{1}{2}y^2 은 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이다.

원본 교재 풀이(영어)

If φ\varphi is a potential for F\mathbf{F}, then:

  • ∂φ∂x=x+y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x+y, so φ=12x2+xy+ψ1(y)\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=x−y\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x-y, so φ=xy−12y2+ψ2(x)\varphi = xy-\frac{1}{2}y^2+\psi_2(x)

So, for instance, φ=12x2+xy−12y2\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy-\frac{1}{2}y^2 is a potential for F\mathbf{F}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 5번
# 보존 벡터장증명·논술보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.CLP-4 · 2.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

F(x,y)=(1x−1y)ı^+(xy2)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(\frac{x}{y^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} 의 퍼텐셜 φ\varphi 를 구하거나, 존재하지 않음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Find a potential φ\varphi for F(x,y)=(1x−1y)ı^+(xy2)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(\frac{x}{y^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}, or prove none exists.

정답·풀이 보기

φ\varphi 가 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

  • ∂φ∂x=1x−1y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac1x-\frac1y 이므로 φ=ln⁡∣x∣−xy+ψ1(y)\varphi = \ln|x|-\frac{x}{y}+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=xy2\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{y^2} 이므로 φ=−xy+ψ2(x)\varphi = -\frac{x}{y}+\psi_2(x)

따라서 예를 들어 φ=ln⁡∣x∣−xy\varphi=\ln |x| - \frac{x}{y} 는 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이다.

원본 교재 풀이(영어)

If φ\varphi is a potential for F\mathbf{F}, then:

  • ∂φ∂x=1x−1y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac1x-\frac1y, so φ=ln⁡∣x∣−xy+ψ1(y)\varphi = \ln|x|-\frac{x}{y}+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=xy2\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{y^2}, so φ=−xy+ψ2(x)\varphi = -\frac{x}{y}+\psi_2(x)

So, for instance, φ=ln⁡∣x∣−xy\varphi=\ln |x| - \frac{x}{y} is a potential for F\mathbf{F}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 9번
# 보존 벡터장증명·논술보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.CLP-4 · 2.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

F(x,y,z)=(xx2+y2+z2)ı^+(yx2+y2+z2)ȷ^+(zx2+y2+z2)k^\mathbf{F}(x,y,z)=\left( \frac{x}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left( \frac{y}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\left( \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\mathbf{k}} 의 퍼텐셜 φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) 를 구하거나, 존재하지 않음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Find a potential φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) for F(x,y,z)=(xx2+y2+z2)ı^+(yx2+y2+z2)ȷ^+(zx2+y2+z2)k^,\mathbf{F}(x,y,z)=\left( \frac{x}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left( \frac{y}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\left( \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\mathbf{k}}, or prove none exists.

정답·풀이 보기

φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) 가 F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z) 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

  • ∂φ∂x(x,y,z)=xx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z)=\frac{x}{x^2+y^2+z^2} 이므로 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ1(y,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_1(y,z)
  • ∂φ∂y(x,y,z)=yx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z)=\frac{y}{x^2+y^2+z^2} 이므로 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,z)
  • ∂φ∂z(x,y,z)=zx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z)=\frac{z}{x^2+y^2+z^2} 이므로 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,y)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,y)

따라서 예를 들어 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)\varphi(x,y,z)= \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2+z^2) 는 F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z) 의 퍼텐셜이다.

원본 교재 풀이(영어)

If φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) is a potential for F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z), then:

  • ∂φ∂x(x,y,z)=xx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z)=\frac{x}{x^2+y^2+z^2}, so φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ1(y,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_1(y,z)
  • ∂φ∂y(x,y,z)=yx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z)=\frac{y}{x^2+y^2+z^2}, so φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,z)
  • ∂φ∂z(x,y,z)=zx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z)=\frac{z}{x^2+y^2+z^2}, so φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,y)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,y)

So, for instance, φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)\varphi(x,y,z)= \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2+z^2) is a potential for F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 43번
# 보존 벡터장증명·논술보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)