빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

선적분

곡선을 따라 스칼라 함수와 벡터장을 적분한다(일·순환·플럭스)

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1문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-4 · 2.4절 · 35번대학 수준우리말 번역

질량 m=1m = 1 인 입자가 시각 t=0t = 0 에서 위치 r0=ȷ^\mathbf{r}_0 = \hat{\boldsymbol{\jmath}} 와 속도 v0=ı^+k^\mathbf{v}_0 = \hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\mathbf{k}} 를 가진다. 이 입자는 힘 F(t)=ȷ^−sin⁡t k^\mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}} 를 받아 움직인다. 여기서 tt 는 시각을 나타낸다.

(a) 입자의 위치 r(t)\mathbf{r}(t) 를 tt 의 함수로 구하세요. (b) 시각 t=0t = 0 이후 입자가 평면 x=π/2x = \pi/2 를 처음으로 지날 때의 위치 r1\mathbf{r}_1 을 구하세요. (c) 입자를 r0\mathbf{r}_0 에서 r1\mathbf{r}_1 까지 움직이는 동안 F\mathbf{F} 가 한 일을 구하세요.

영어 원문 보기

A particle of mass m=1m = 1 has position r0=ȷ^\mathbf{r}_0 = \hat{\boldsymbol{\jmath}} and velocity v0=ı^+k^\mathbf{v}_0 = \hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\mathbf{k}} at time t=0t = 0. The particle moves under a force F(t)=ȷ^−sin⁡t k^\mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}}, where tt denotes time.

(a) Find the position r(t)\mathbf{r}(t) of the particle as a function of tt. (b) Find the position r1\mathbf{r}_1 of the particle when it crosses the plane x=π/2x = \pi/2 for the first time after time t=0t = 0. (c) Determine the work done by F\mathbf{F} in moving the particle from r0\mathbf{r}_0 to r1\mathbf{r}_1.

정답·풀이 보기

(a) m=1m=1 이므로 뉴턴의 운동 법칙에 의해

a(t)=v′(t)=F(t)=ȷ^−sin⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다. 적분하면

v(t)=t ȷ^+cos⁡t k^+c\mathbf{v}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 어떤 상수 벡터이다. v(0)=ı^+k^\mathbf{v}(0)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\mathbf{k}} 이므로 c=ı^\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\imath}} 이고, 따라서

r′(t)=v(t)=ı^+t ȷ^+cos⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \mathbf{v}(t) = \hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다. 다시 적분하면

r(t)=t ı^+t22 ȷ^+sin⁡t k^+c\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 (새로운) 어떤 상수 벡터이다. r(0)=ȷ^\mathbf{r}(0)=\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로 c=ȷ^\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고, 따라서

r(t)=t ı^+(1+t22) ȷ^+sin⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

(b) 입자는 t=π/2t=\pi/2 일 때 x=π/2x=\pi/2 이고, 이때

r1=r(π/2)=π2 ı^+(1+π28) ȷ^+k^\begin{aligned} \mathbf{r}_1=\mathbf{r}(\pi/2) = \frac{\pi}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{\pi^2}{8}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

(c) 시각 t=0t=0 부터 시각 t=π/2t=\pi/2 까지 한 일은

∫0π/2F(t)⋅dr=∫0π/2F(t)⋅drdt(t) dt=∫0π/2[ȷ^−sin⁡t k^]⋅[ı^+t ȷ^+cos⁡t k^] dt=∫0π/2[t−sin⁡tcos⁡t] dt=[t22+12cos⁡2t]0π/2=π28−12\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^{\pi/2} [\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\sin t\,\hat{\mathbf{k}}]\cdot [\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\cos t\,\hat{\mathbf{k}}]\,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} [t -\sin t\cos t]\,\mathrm{d}t =\Big[\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\cos^2 t\Big]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8}-\frac{1}{2} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since m=1m=1, Newton's law of motion gives

a(t)=v′(t)=F(t)=ȷ^−sin⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Integating gives

v(t)=t ȷ^+cos⁡t k^+c\mathbf{v}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}

for some constant vector c\mathbf{c}. Since v(0)=ı^+k^\mathbf{v}(0)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\mathbf{k}}, we have c=ı^\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\imath}} so that

r′(t)=v(t)=ı^+t ȷ^+cos⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \mathbf{v}(t) = \hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Integating again gives

r(t)=t ı^+t22 ȷ^+sin⁡t k^+c\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}

for some (new) constant vector c\mathbf{c}. Since r(0)=ȷ^\mathbf{r}(0)=\hat{\boldsymbol{\jmath}}, we have c=ȷ^\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\jmath}} so that

r(t)=t ı^+(1+t22) ȷ^+sin⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) The particle has x=π/2x=\pi/2 when t=π/2t=\pi/2 and then

r1=r(π/2)=π2 ı^+(1+π28) ȷ^+k^\begin{aligned} \mathbf{r}_1=\mathbf{r}(\pi/2) = \frac{\pi}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{\pi^2}{8}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(c) The work done between time t=0t=0 and time t=π/2t=\pi/2 is

∫0π/2F(t)⋅dr=∫0π/2F(t)⋅drdt(t) dt=∫0π/2[ȷ^−sin⁡t k^]⋅[ı^+t ȷ^+cos⁡t k^] dt=∫0π/2[t−sin⁡tcos⁡t] dt=[t22+12cos⁡2t]0π/2=π28−12\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^{\pi/2} [\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\sin t\,\hat{\mathbf{k}}]\cdot [\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\cos t\,\hat{\mathbf{k}}]\,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} [t -\sin t\cos t]\,\mathrm{d}t =\Big[\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\cos^2 t\Big]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8}-\frac{1}{2} \end{aligned}

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# 선적분활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)