선적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 3권 · 6장 복습 · 22번대학 수준우리말 번역

반지름이 2 m이고 높이가 100 m인 나선 계단을 올라가는 질량 50 kg의 여성이 한 일의 양을 구하세요. 이 여성은 올라가는 동안 다섯 바퀴를 돈다. 중력 가속도로 9.8 m/s²을 사용하세요.

영어 원문 보기

Find the amount of work performed by a 50-kg woman ascending a helical staircase with radius 2 m and height 100 m. The woman completes five revolutions during the climb. Use 9.8 m/s² as the acceleration due to gravity.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 25번

# 선적분활용자동 분류

2.APEX · 14.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ 는 직선 $y=x$ 위의 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 선분이고, 거리는 미터 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ is the segment of the line $y=x$ from $(0,0)$ to $(1,1)$ , where distances are measured in meters.

정답·풀이 보기

$5/6$ 줄. ( $C$ 의 한 가지 매개변수화는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$5/6$ joules. (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,t\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 2번

# 선적분활용자동 분류

3.APEX · 14.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ 는 $y=\sqrt x$ 의 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 부분이고, 거리는 미터 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ is the portion of $y=\sqrt x$ from $(0,0)$ to $(1,1)$ , where distances are measured in meters.

정답·풀이 보기

$13/15$ 줄. ( $C$ 의 한 가지 매개변수화는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,\sqrt t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$13/15$ joules. (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,\sqrt t\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 29번

# 선적분활용자동 분류

4.APEX · 14.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ 는 $0\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle t, t^2, t^3\rangle$ 로 나타내어지는 $(0,0,0)$ 에서 $(2,4,8)$ 까지의 경로이고, 거리는 피트 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ is the path from $(0,0,0)$ to $(2,4,8)$ via $\vec r(t) = \langle t, t^2, t^3\rangle$ on $0\leq t\leq 2$ , where distance are measured in feet.

정답·풀이 보기

$24$ ft-lbs.

원본 교재 풀이(영어)

$24$ ft-lbs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 3번

# 선적분활용자동 분류

5.APEX · 14.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ 는 $0\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,2t, 4t\rangle$ 로 나타내어지는 $(0,0,0)$ 에서 $(2,4,8)$ 까지의 경로이고, 거리는 피트 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ is the path from $(0,0,0)$ to $(2,4,8)$ via $\vec r(t) = \langle t,2t, 4t\rangle$ on $0\leq t\leq 2$ , where distance are measured in feet.

정답·풀이 보기

$24$ ft-lbs.

원본 교재 풀이(영어)

$24$ ft-lbs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 7번

# 선적분활용자동 분류

6.CLP-4 · 2.4절 · 35번대학 수준우리말 번역

질량 $m = 1$ 인 입자가 시각 $t = 0$ 에서 위치 $\mathbf{r}_0 = \hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 와 속도 $\mathbf{v}_0 = \hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 를 가진다. 이 입자는 힘 $\mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}}$ 를 받아 움직인다. 여기서 $t$ 는 시각을 나타낸다.

(a) 입자의 위치 $\mathbf{r}(t)$ 를 $t$ 의 함수로 구하세요. (b) 시각 $t = 0$ 이후 입자가 평면 $x = \pi/2$ 를 처음으로 지날 때의 위치 $\mathbf{r}_1$ 을 구하세요. (c) 입자를 $\mathbf{r}_0$ 에서 $\mathbf{r}_1$ 까지 움직이는 동안 $\mathbf{F}$ 가 한 일을 구하세요.

영어 원문 보기

A particle of mass $m = 1$ has position $\mathbf{r}_0 = \hat{\boldsymbol{\jmath}}$ and velocity $\mathbf{v}_0 = \hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\mathbf{k}}$ at time $t = 0$ . The particle moves under a force $\mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}}$ , where $t$ denotes time.

(a) Find the position $\mathbf{r}(t)$ of the particle as a function of $t$ . (b) Find the position $\mathbf{r}_1$ of the particle when it crosses the plane $x = \pi/2$ for the first time after time $t = 0$ . (c) Determine the work done by $\mathbf{F}$ in moving the particle from $\mathbf{r}_0$ to $\mathbf{r}_1$ .

정답·풀이 보기

(a) $m=1$ 이므로 뉴턴의 운동 법칙에 의해

$\begin{aligned} \mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다. 적분하면

$\mathbf{v}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 어떤 상수 벡터이다. $\mathbf{v}(0)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\mathbf{k}}$ 이므로 $\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이고, 따라서

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \mathbf{v}(t) = \hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다. 다시 적분하면

$\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 (새로운) 어떤 상수 벡터이다. $\mathbf{r}(0)=\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이므로 $\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고, 따라서

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

(b) 입자는 $t=\pi/2$ 일 때 $x=\pi/2$ 이고, 이때

$\begin{aligned} \mathbf{r}_1=\mathbf{r}(\pi/2) = \frac{\pi}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{\pi^2}{8}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

(c) 시각 $t=0$ 부터 시각 $t=\pi/2$ 까지 한 일은

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^{\pi/2} [\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\sin t\,\hat{\mathbf{k}}]\cdot [\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\cos t\,\hat{\mathbf{k}}]\,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} [t -\sin t\cos t]\,\mathrm{d}t =\Big[\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\cos^2 t\Big]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8}-\frac{1}{2} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $m=1$ , Newton's law of motion gives

$\begin{aligned} \mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

Integating gives

$\mathbf{v}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}$

for some constant vector $\mathbf{c}$ . Since $\mathbf{v}(0)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\mathbf{k}}$ , we have $\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\imath}}$ so that

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \mathbf{v}(t) = \hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

Integating again gives

$\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}$

for some (new) constant vector $\mathbf{c}$ . Since $\mathbf{r}(0)=\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , we have $\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\jmath}}$ so that

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) The particle has $x=\pi/2$ when $t=\pi/2$ and then

$\begin{aligned} \mathbf{r}_1=\mathbf{r}(\pi/2) = \frac{\pi}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{\pi^2}{8}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(c) The work done between time $t=0$ and time $t=\pi/2$ is

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^{\pi/2} [\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\sin t\,\hat{\mathbf{k}}]\cdot [\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\cos t\,\hat{\mathbf{k}}]\,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} [t -\sin t\cos t]\,\mathrm{d}t =\Big[\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\cos^2 t\Big]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8}-\frac{1}{2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 4번

# 선적분활용도전자동 분류