문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

합성함수의 미분법

겉함수·속함수로 나누어 합성함수를 미분한다(연쇄법칙)

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.6절 · 16번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y={(5-2x)}^{-2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ for each function.

$y={(5-2x)}^{-2}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

겉함수(거듭제곱)를 미분하고 속함수 $5-2x$ 의 미분을 곱해요.

1
$u=5-2x$ 로 놓으면 $y=u^{-2}$ 이에요. 합성함수의 미분법은 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ 예요.
2
$\dfrac{dy}{du}=-2u^{-3}$ , $\dfrac{du}{dx}=-2$ 이므로

$\frac{dy}{dx}=-2(5-2x)^{-3}\cdot(-2)=4(5-2x)^{-3}$
3
음의 지수를 분수로 바꾸면 $\dfrac{4}{(5-2x)^3}$ 이에요.

답

$\dfrac{4}{(5-2x)^{3}}$

자주 하는 실수

속함수의 미분 $-2$ 를 곱하는 것을 잊어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4}{{(5-2x)}^{3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 34번

# 합성함수의 미분법계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.6절 · 38번우리말 풀이

아래 표의 정보를 이용하여 주어진 $a$ 에서 $h'(a)$ 를 구하세요.

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$g(x)$	$g'(x)$
0	2	5	0	2
1	1	−2	3	0
2	4	4	1	−1
3	3	−3	2	3

$h(x)=g(2+f({x}^{2}));\ a=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the information in the following table to find ${h}^{'}(a)$ at the given value for $a.$

$x$ $f(x)$ $f'(x)$ $g(x)$ $g'(x)$

0 2 5 0 2

1 1 −2 3 0

2 4 4 1 −1

3 3 −3 2 3

$h(x)=g(2+f({x}^{2}));a=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

바깥에서 안쪽으로 한 겹씩 벗기며 미분해서 곱하고, 값은 표에서 읽어요.

1
$h$ 는 세 겹 합성함수예요. 바깥부터 한 겹씩 미분해서 곱해요.

$h'(x)=g'\big(2+f(x^2)\big)\cdot f'(x^2)\cdot 2x$
2
$x=1$ 을 넣어요. 안쪽부터 값을 구하면 $x^2=1$ , $f(1)=1$ (표), 그래서 $2+f(1)=3$ 이에요.

$h'(1)=g'(3)\cdot f'(1)\cdot 2$
3
표에서 $g'(3)=3$ , $f'(1)=-2$ 를 읽어요.

$h'(1)=3\cdot(-2)\cdot2=-12$

답

$-12$

자주 하는 실수

$x^2$ 의 미분 $2x$ 를 빠뜨리거나, $g'$ 에 넣을 값을 $3$ 이 아니라 $f(1)=1$ 로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$-12$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 16번

# 합성함수의 미분법계산보통