합성함수의 미분법 연습문제

1.CLP-1 · 2.9절 · 32번우리말 번역

모든 $x>0$ 에 대해 $e^{x+x^2}>1+x$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that, for all $x>0$ , $e^{x+x^2}>1+x$ .

정답·풀이 보기

$f(x)=e^{x+x^2}$ , $g(x)=1+x$ 라 하자. 그러면 $f(0)=g(0)=1$ 이다.

$f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}$ 이고 $g'(x)=1$ 이다. $x>0$ 일 때, $f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}>1\cdot e^{x+x^2}=e^{x+x^2}>e^{0+0^2}=1=g'(x).$ $f(0)=g(0)$ 이고 모든 $x>0$ 에 대해 $f'(x)>g'(x)$ 이므로, $f$ 와 $g$ 는 같은 곳에서 출발하지만 $f$ 가 항상 더 빠르게 증가한다. 따라서 모든 $x>0$ 에 대해 $f(x)>g(x)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $f(x)=e^{x+x^2}$ and $g(x)=1+x$ . Then $f(0)=g(0)=1$ .

$f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}$ and $g'(x)=1$ . When $x>0$ , $f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}>1\cdot e^{x+x^2}=e^{x+x^2}>e^{0+0^2}=1=g'(x).$ Since $f(0)=g(0)$ , and $f'(x)>g'(x)$ for all $x>0$ , that means $f$ and $g$ start at the same place, but $f$ always grows faster. Therefore, $f(x)>g(x)$ for all $x>0$ .

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