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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

음함수의 미분법

x, y가 섞인 식 그대로 미분해 dy/dx를 구한다

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

1문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.8절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 음함수의 미분법을 써서 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

x3y+xy3=−8{x}^{3}y+x{y}^{3}=-8

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

x3y+xy3=−8{x}^{3}y+x{y}^{3}=-8

풀이 보기

y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 로 미분한 뒤, dydx\frac{dy}{dx} 가 들어 있는 항만 모아 정리해요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? 식이 y=⋯y=\cdots 꼴이 아니어서 바로 미분할 수 없어요. 그래서 yy 를 xx 의 함수로 생각하고 양변을 xx 에 대해 미분해요. yy 가 들어간 항은 연쇄법칙 때문에 dydx\frac{dy}{dx} 가 하나씩 붙어요.

  2. 2

    각 항을 곱의 미분법으로 미분해요. x3yx^3y 는 x3x^3 과 yy 의 곱이므로 ddx(x3y)=3x2y+x3dydx\frac{d}{dx}(x^3y)=3x^2y+x^3\frac{dy}{dx} 이고, xy3xy^3 은 ddx(xy3)=y3+x⋅3y2dydx\frac{d}{dx}(xy^3)=y^3+x\cdot 3y^2\frac{dy}{dx} 예요. 우변 −8-8 은 상수이므로 미분하면 00 이에요.

  3. 3

    미분한 식을 합쳐요. 3x2y+x3dydx+y3+3xy2dydx=03x^2y+x^3\frac{dy}{dx}+y^3+3xy^2\frac{dy}{dx}=0

  4. 4

    dydx\frac{dy}{dx} 가 있는 항끼리 모아요. 없는 항은 우변으로 넘겨요. (x3+3xy2)dydx=−3x2y−y3(x^3+3xy^2)\frac{dy}{dx}=-3x^2y-y^3

  5. 5

    양변을 x3+3xy2x^3+3xy^2 으로 나눠요. dydx=−3x2y−y3x3+3xy2\frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}

답

dydx=−3x2y−y3x3+3xy2\frac{dy}{dx}=\dfrac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}

자주 하는 실수

곱의 미분법을 쓸 때 y3y^3 을 미분하면서 3y23y^2 뒤에 dydx\frac{dy}{dx} 를 붙이는 것을 잊어요.

원본 교재 풀이(영어)

dydx=−3x2y−y3x3+3xy2\frac{dy}{dx}=\frac{-3{x}^{2}y-{y}^{3}}{{x}^{3}+3x{y}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.6절 · 1번
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