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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

관련 변화율

서로 연결된 양들의 시간에 대한 변화율을 미분으로 구한다(풍선·사다리 문제 등)

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

1문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번우리말 풀이

구의 반지름이 초당 9 cm 의 비율로 늘어나고 있어요. 구의 부피와 반지름이 늘어나는 비율의 수치가 같아지는 순간의 구의 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere is increasing at a rate of 9 cm/sec. Find the radius of the sphere when the volume and the radius of the sphere are increasing at the same numerical rate.

답 쓰고 채점
cm
풀이 보기

부피 공식 V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3 을 시간 tt 로 미분하면 두 변화율 사이의 관계가 나와요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? 반지름이 변하면 부피도 따라 변해요. 둘을 이어 주는 식은 구의 부피 공식이에요. V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3

  2. 2

    양변을 시간 tt 로 미분해요. rr 은 tt 의 함수이므로 연쇄법칙을 써요. dVdt=4πr2drdt\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}

  3. 3

    주어진 값을 넣어요. drdt=9\frac{dr}{dt}=9 이므로 dVdt=4πr2⋅9=36πr2\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot 9=36\pi r^2

  4. 4

    두 변화율의 수치가 같다는 조건을 써요. dVdt=drdt=9\frac{dV}{dt}=\frac{dr}{dt}=9 이므로 36πr2=9  ⟹  r2=14π36\pi r^2=9 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{1}{4\pi}

  5. 5

    반지름은 양수이므로 r=12π cmr=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\ \text{cm}

답

12π\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}} cm

자주 하는 실수

미분하기 전에 r=9r=9 를 넣어 버려요. 변하는 양은 미분한 뒤에 값을 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

12π\frac{1}{2\sqrt{\pi }} cm

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번
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