관련 변화율 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번우리말 풀이

구의 반지름이 초당 9 cm 의 비율로 늘어나고 있어요. 구의 부피와 반지름이 늘어나는 비율의 수치가 같아지는 순간의 구의 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere is increasing at a rate of 9 cm/sec. Find the radius of the sphere when the volume and the radius of the sphere are increasing at the same numerical rate.

답 쓰고 채점

cm

풀이 보기

부피 공식 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ 을 시간 $t$ 로 미분하면 두 변화율 사이의 관계가 나와요.

1
왜 이렇게 할까요? 반지름이 변하면 부피도 따라 변해요. 둘을 이어 주는 식은 구의 부피 공식이에요. $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
2
양변을 시간 $t$ 로 미분해요. $r$ 은 $t$ 의 함수이므로 연쇄법칙을 써요. $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$
3
주어진 값을 넣어요. $\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot 9=36\pi r^2$
4
두 변화율의 수치가 같다는 조건을 써요. $\frac{dV}{dt}=\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $36\pi r^2=9 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{1}{4\pi}$
5
반지름은 양수이므로 $r=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\ \text{cm}$

답

$\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$ cm

자주 하는 실수

미분하기 전에 $r=9$ 를 넣어 버려요. 변하는 양은 미분한 뒤에 값을 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번

# 관련 변화율활용보통

2.OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번우리말 풀이

버스 정류장이 있는 직각 모퉁이로 걸어가고 있어요. 당신은 초속 2 m 로 북쪽으로 움직이고 있고, 교차로에서 남쪽으로 20 m 떨어져 있어요. 버스는 교차로에서 멀어지며 초속 10 m 로 서쪽으로 가요. 버스를 놓쳤어요! 당신이 교차로에서 남쪽으로 20 m 에 있고 버스가 교차로에서 서쪽으로 10 m 에 있을 때, 당신과 버스 사이의 각이 변하는 비율은 얼마인가요?

영어 원문 보기

You are walking to a bus stop at a right-angle corner. You move north at a rate of 2 m/sec and are 20 m south of the intersection. The bus travels west at a rate of 10 m/sec away from the intersection – you have missed the bus! What is the rate at which the angle between you and the bus is changing when you are 20 m south of the intersection and the bus is 10 m west of the intersection?

풀이 보기

교차로·나·버스로 직각삼각형을 만들고, $\tan\theta=\frac{x}{y}$ 를 시간으로 미분해요.

1
왜 이렇게 할까요? 거리가 시간에 따라 변하니 각도 변해요. 상황을 직각삼각형으로 그리면 각과 길이의 관계식을 세울 수 있어요. 교차로에서 버스까지의 거리를 $x$ , 교차로에서 나까지의 거리를 $y$ 라 하고, 내 위치에서 교차로 쪽 방향과 버스 쪽 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 해요.
2
변하는 비율을 정리해요. 버스는 멀어지므로 $\frac{dx}{dt}=10$ , 나는 교차로에 다가가므로 $y$ 가 줄어서 $\frac{dy}{dt}=-2$ 예요.
3
관계식을 세워요. 직각삼각형에서 $\tan\theta=\frac{x}{y}$
4
양변을 $t$ 로 미분해요. 몫의 미분법을 쓰면 $\sec^2\theta\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{x'y-xy'}{y^2}$ 이에요. $x=10,\ y=20,\ x'=10,\ y'=-2$ 를 넣으면 우변은 $\frac{10\cdot20-10\cdot(-2)}{400}=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}$ 이에요.
5
$\sec^2\theta$ 의 값을 구해요. $\tan\theta=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ 이므로 $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=1+\frac14=\frac54$
6
$\frac{d\theta}{dt}$ 를 구해요. $\frac{5}{4}\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\;\Longrightarrow\;\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\cdot\frac45=\frac{11}{25}$ 각은 초당 $\frac{11}{25}$ 라디안의 비율로 커져요.

답

$\dfrac{11}{25}$ rad/초

자주 하는 실수

$y$ 는 줄어드는 양인데 $\frac{dy}{dt}$ 의 부호를 $+2$ 로 써서 계산이 틀어져요.

원본 교재 풀이(영어)

The angle is changing at a rate of $\frac{11}{25}\,\text{rad/sec}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 17번

# 관련 변화율활용도전

3.OpenStax 1권 · 4.1절 · 6번우리말 번역

길이가 25 ft인 사다리가 벽에 기대어 있습니다. 사다리를 벽 쪽으로 1 ft/sec의 속도로 밀고, 처음에 사다리의 아랫부분이 벽에서 $20\,\text{ft}$ 떨어져 있었다면, 밀기 시작한 지 $5\,\sec$ 후에 사다리는 벽을 따라 얼마나 빠르게 올라가는지 구하세요.

영어 원문 보기

A 25-ft ladder is leaning against a wall. If we push the ladder toward the wall at a rate of 1 ft/sec, and the bottom of the ladder is initially $20\,\text{ft}$ away from the wall, how fast does the ladder move up the wall $5\,\sec$ after we start pushing?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 27번

# 관련 변화율활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 4.1절 · 9번우리말 번역

버스 두 대가 $5\,\text{mi}$ 떨어진 평행한 고속도로를 따라 달리고 있는데, 한 대는 동쪽으로, 다른 한 대는 서쪽으로 향하고 있다. 각 버스가 일정한 속력 $55\,\text{mph,}$ 로 달린다고 할 때, 두 버스가 서로를 향해 가며 $13\,\text{mi}$ 떨어져 있는 순간에 두 버스 사이의 거리가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Two buses are driving along parallel freeways that are $5\,\text{mi}$ apart, one heading east and the other heading west. Assuming that each bus drives a constant $55\,\text{mph,}$ find the rate at which the distance between the buses is changing when they are $13\,\text{mi}$ apart, heading toward each other.

정답·풀이 보기

두 버스 사이의 거리는 $\frac{1320}{13}\approx 101.5\,\text{mph}$ 의 비율로 줄어든다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance between them shrinks at a rate of $\frac{1320}{13}\approx 101.5\,\text{mph}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번

# 관련 변화율활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.1절 · 11번우리말 번역

앞의 문제를 이용하여, 사람이 기둥에서 10 ft 떨어져 있을 때 그림자 끝이 사람에게서 멀어지는 속력(또는 변화율)은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Using the previous problem, what is the rate at which the tip of the shadow moves away from the person when the person is 10 ft from the pole?

정답·풀이 보기

$\frac{9}{2}$ ft/sec

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{9}{2}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 3번

# 관련 변화율활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.1절 · 13번우리말 번역

앞의 문제를 이용하여, 사람이 2 ft/sec의 속력으로 벽에서 멀어지고 있을 때, 벽에서 10 ft 떨어진 순간 그림자가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Using the previous problem, what is the rate at which the shadow changes when the person is 10 ft from the wall, if the person is walking away from the wall at a rate of 2 ft/sec?

정답·풀이 보기

$\frac{4}{9}$ ft/sec의 비율로 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

It grows at a rate $\frac{4}{9}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 39번

# 관련 변화율활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.1절 · 15번우리말 번역

앞의 문제를 이용하여, 처음에 헬리콥터가 당신의 30 ft 위에 있었다고 할 때, 헬리콥터가 지상 60 ft 높이까지 올라간 순간 당신과 헬리콥터 사이의 거리가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Using the previous problem, what is the rate at which the distance between you and the helicopter is changing when the helicopter has risen to a height of 60 ft in the air, assuming that, initially, it was 30 ft above you?

정답·풀이 보기

거리는 $\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/sec의 비율로 증가하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance is increasing at $\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 25번

# 관련 변화율활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.1절 · 16번우리말 번역

정육면체의 한 모서리의 길이가 $\frac{1}{2}$ m/sec의 비율로 증가한다. 모서리의 길이가 4 m일 때, 정육면체의 부피가 증가하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The side of a cube increases at a rate of $\frac{1}{2}$ m/sec. Find the rate at which the volume of the cube increases when the side of the cube is 4 m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 7번

# 관련 변화율활용자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.1절 · 17번우리말 번역

정육면체의 부피가 10 m³/s 의 비율로 감소합니다. 정육면체의 한 모서리의 길이가 2 m 일 때, 그 모서리의 길이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The volume of a cube decreases at a rate of 10 m³/s. Find the rate at which the side of the cube changes when the side of the cube is 2 m.

정답·풀이 보기

$-\frac{5}{6}$ m/sec

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{5}{6}$ m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 27번

# 관련 변화율활용자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.1절 · 18번우리말 번역

원의 반지름이 $2$ m/sec 의 비율로 증가합니다. 반지름이 5 m 일 때, 원의 넓이가 증가하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a circle increases at a rate of $2$ m/sec. Find the rate at which the area of the circle increases when the radius is 5 m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 5번

# 관련 변화율활용자동 분류

11.OpenStax 1권 · 4.1절 · 19번우리말 번역

구의 반지름이 $3$ m/sec 의 비율로 감소합니다. 반지름이 10 m 일 때, 겉넓이가 감소하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere decreases at a rate of $3$ m/sec. Find the rate at which the surface area decreases when the radius is 10 m.

정답·풀이 보기

$240\pi$ m²/sec

원본 교재 풀이(영어)

$240\pi$ m²/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 31번

# 관련 변화율활용자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.1절 · 20번우리말 번역

구의 반지름이 $1$ m/sec 의 비율로 증가합니다. 반지름이 $20$ m 일 때, 부피가 증가하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere increases at a rate of $1$ m/sec. Find the rate at which the volume increases when the radius is $20$ m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 39번

# 관련 변화율활용자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.1절 · 22번우리말 번역

삼각형의 밑변의 길이는 1 cm/min 의 변화율로 줄어들고 있고, 높이는 5 cm/min 의 비율로 늘어나고 있습니다. 높이가 22 cm이고 밑변의 길이가 10 cm일 때, 삼각형의 넓이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The base of a triangle is shrinking at a rate of 1 cm/min and the height of the triangle is increasing at a rate of 5 cm/min. Find the rate at which the area of the triangle changes when the height is 22 cm and the base is 10 cm.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.2절 · 1번

# 관련 변화율활용자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.1절 · 23번우리말 번역

한 삼각형의 두 변의 길이는 각각 3 ft, 5 ft 로 일정합니다(상수). 이 두 변 사이의 끼인각은 0.1 rad/sec 의 변화율로 증가하고 있습니다. 두 변 사이의 끼인각이 $\pi /6$ 일 때, 삼각형의 넓이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

A triangle has two constant sides of length 3 ft and 5 ft. The angle between these two sides is increasing at a rate of 0.1 rad/sec. Find the rate at which the area of the triangle is changing when the angle between the two sides is $\pi /6.$

정답·풀이 보기

넓이는 $\frac{\left(3\sqrt{3}\right)}{8}\,{\text{ft}}^{2}\text{/sec.}$ 의 비율로 증가한다.

원본 교재 풀이(영어)

The area is increasing at a rate $\frac{\left(3\sqrt{3}\right)}{8}\,{\text{ft}}^{2}\text{/sec.}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 19번

# 관련 변화율활용자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.1절 · 24번우리말 번역

한 삼각형의 높이는 초당 2 cm의 비율로 증가하고 있고, 넓이는 4 cm²/sec 의 비율로 증가하고 있습니다. 삼각형의 높이가 4 cm이고 넓이가 20 cm²일 때, 삼각형의 밑변의 길이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

A triangle has a height that is increasing at a rate of 2 cm/sec and its area is increasing at a rate of 4 cm²/sec. Find the rate at which the base of the triangle is changing when the height of the triangle is 4 cm and the area is 20 cm².

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 1번

# 관련 변화율활용자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.1절 · 25번우리말 번역

원뿔에서 물이 분당 10 ft³의 비율로 새고 있을 때, 물의 높이가 10 ft 이면 물의 깊이는 얼마나 빠르게 변합니까?

영어 원문 보기

How fast does the depth of the water change when the water is 10 ft high if the cone leaks water at a rate of 10 ft³/min?

정답·풀이 보기

물의 깊이는 $\frac{128}{125\pi }$ ft/min 의 비율로 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

The depth of the water decreases at $\frac{128}{125\pi }$ ft/min.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 39번

# 관련 변화율활용자동 분류

17.OpenStax 1권 · 4.1절 · 26번우리말 번역

원뿔에서 물이 10 ft³/min 의 비율로 새고 있을 때, 물의 높이가 10 ft 일 때 물의 겉넓이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the rate at which the surface area of the water changes when the water is 10 ft high if the cone leaks water at a rate of 10 ft³/min.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 23번

# 관련 변화율활용자동 분류

18.OpenStax 1권 · 4.1절 · 27번우리말 번역

수심이 8 ft일 때 수면의 높이가 분당 3 in의 비율로 감소하고 있다면, 원뿔에서 물이 새어 나가는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

If the water level is decreasing at a rate of 3 in/min when the depth of the water is 8 ft, determine the rate at which water is leaking out of the cone.

정답·풀이 보기

부피는 $\frac{(25\pi )}{16}{\text{ft}}^{3}\text{/min}$ 의 비율로 감소하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The volume is decreasing at a rate of $\frac{(25\pi )}{16}{\text{ft}}^{3}\text{/min}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 25번

# 관련 변화율활용자동 분류

19.OpenStax 1권 · 4.1절 · 28번우리말 번역

수직으로 세워진 원기둥에서 물이 1 ft³/sec 의 비율로 새고 있다. 원기둥의 높이가 10 ft이고 반지름이 1 ft라고 할 때, 물의 높이가 6 ft인 순간에 물의 높이는 어떤 비율로 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A vertical cylinder is leaking water at a rate of 1 ft³/sec. If the cylinder has a height of 10 ft and a radius of 1 ft, at what rate is the height of the water changing when the height is 6 ft?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 2번

# 관련 변화율활용자동 분류

20.OpenStax 1권 · 4.1절 · 29번우리말 번역

수직으로 세워진 원기둥에서 물이 새고 있지만 그 변화율은 알 수 없다. 원기둥의 높이는 2 m이고 반지름은 2 m이다. 높이가 1 m일 때 높이가 감소하는 비율이 10 cm/min이라면, 원기둥에서 물이 새어 나가는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

A vertical cylinder is leaking water but you are unable to determine at what rate. The cylinder has a height of 2 m and a radius of 2 m. Find the rate at which the water is leaking out of the cylinder if the rate at which the height is decreasing is 10 cm/min when the height is 1 m.

정답·풀이 보기

물은 $\frac{(2\pi )}{5}\,{\text{m}}^{3}\text{/min.}$ 의 비율로 흘러나간다.

원본 교재 풀이(영어)

The water flows out at rate $\frac{(2\pi )}{5}\,{\text{m}}^{3}\text{/min.}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 35번

# 관련 변화율활용자동 분류