문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분의 활용

적분의 활용 전체 문제

이 단원의 모든 연습문제입니다. 소단원으로 좁혀 보려면 아래 꼬리표를 누르세요.

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-2 · 2.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

중력에 대항하여 3그램 질량의 블록을 10 센티미터 높이만큼 들어 올리는 데 필요한 일(줄 단위)을 구하세요 ( $g=9.8$ m/sec $^2$ 이용).

영어 원문 보기

Find the work (in joules) required to lift a 3-gram block of matter a height of 10 centimetres against the force of gravity (with $g=9.8$ m/sec $^2$ ).

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

힘은 질량 $\times$ 가속도이고(이 문제에서 가속도는 $g$ 와 같다), 이 상황에서는 둘 다 상수이므로 블록에 작용하는 힘을 계산하는 데 적분은 필요 없고 곱셈만 하면 된다.

힘을 뉴턴 단위로 구하기 위해, 1뉴턴이 $\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}$ 임을 떠올리면 블록의 질량이 kg 단위로 필요하다. 블록의 질량은 $\frac{3}{1000}$ kg 이다. 따라서 작용하는 힘은 $F=\left(\frac{3}{1000}\text{ kg}\right)\times\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = 0.0294~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = 0.0294~\text{N}$

일을 줄 단위로 구하기 위해, 1줄은 1뉴턴미터, 즉 1뉴턴의 힘이 1미터에 걸쳐 작용한 일임을 떠올리자. 따라서 거리를 미터 단위로 나타내야 한다. $W = \big( 0.0294~\text{N}\big)\times\left(\frac{1}{10}~\text{m}\right) = 0.00294~\text{N}\cdot\text{m} = 0.00294~\text{J}$

원본 교재 풀이(영어)

Force is mass $\times$ acceleration (with acceleration equal to $g$ in this problem), and both in this scenario are constant, so we don't need an integral–only a product–to calculate the force acting on the block.

To find the force in newtons, recall one newton is one $\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}$ , so we need the mass of our block in kg. Specifically, our block has mass $\frac{3}{1000}$ kg. So, the force involved is $F=\left(\frac{3}{1000}\text{ kg}\right)\times\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = 0.0294~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = 0.0294~\text{N}$

To find the work in joules, recall one joule is one newton-metre: that is, one newton of force acting over one metre. So, we need our distance in metres. $W = \big( 0.0294~\text{N}\big)\times\left(\frac{1}{10}~\text{m}\right) = 0.00294~\text{N}\cdot\text{m} = 0.00294~\text{J}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.1절 · 2번

# 일계산기본자동 분류

2.CLP-2 · 2.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

바위가 중력 때문에 놓여 있는 땅에 1 N의 힘을 가한다. $g=9.8$ m/sec $^2$ 을 이용하세요.

바위의 질량은 얼마인지 구하세요.

그 바위를 공중으로 1미터 들어 올리는 데 드는 일(줄 단위)은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A rock exerts a force of 1 N on the ground where it sits due to gravity. Use $g=9.8$ m/sec $^2$ .

What is the mass of the rock?

How much work (in joules) does it take to lift that rock one metre in the air?

정답·풀이 보기

바위의 힘은 1뉴턴, 즉 1 킬로그램미터 매 초 제곱이므로 $1~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = (x~\text{kg})\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right)$ 따라서 바위의 질량은 $\frac{1}{9.8}$ kg, 즉 약 102그램이다.

이제 1줄이 1뉴턴미터이므로, 1 N의 중력에 맞서 1미터 동안 해야 하는 일은 정확히 1줄이다.

참고: 1줄의 일이 어느 정도이고 1뉴턴의 힘이 어느 정도인지 감을 잡아 두면 계산 결과가 타당한지 확인하는 데 좋은 도구가 된다. 예를 들어 이 문제를 푼 뒤에 구슬 하나의 무게가 100 N 이라는 결과가 나왔다면, 계산에 오류가 있다고 거의 확신할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The force of the rock is one newton, or one kilogram-metre per second squared, so $1~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = (x~\text{kg})\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right)$ Therefore, the mass of the rock is $\frac{1}{9.8}$ kg, or about 102 grams.

Now, since one joule is one newton-metre, the amount of work required to counteract 1 N of gravitational force for one metre is precisely one joule.

Remark: having an idea of how much work a joule is, and how much force a newton is, is a good tool for checking the reasonableness of your work. For example, after this question, if you calculate that a marble weighs 100 N, you can be pretty sure there's an error in your calculation.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.1절 · 3번

# 일계산기본자동 분류

3.CLP-2 · 2.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 는 구간 $[0,10]$ 의 모든 수에서 정의된 함수라고 하자.

(a) $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 이면, 구간 $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값은 $g(x)$ 의 평균값보다 작거나 같은지, 아니면 알 수 있는 정보가 충분하지 않은지 판단하세요. (b) $[0.01,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 라고 하자. 구간 $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값은 $g(x)$ 의 평균값보다 작거나 같은지, 아니면 알 수 있는 정보가 충분하지 않은지 판단하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ and $g(x)$ are functions that are defined for all numbers in the interval $[0,10]$ .

(a) If $f(x) \leq g(x)$ for all $x$ in $[0,10]$ , then is the average value of $f(x)$ is less than or equal to the average value of $g(x)$ on the interval $[0,10]$ , or is there not enough information to tell? (b) Suppose $f(x) \leq g(x)$ for all $x$ in $[0.01,10]$ . Is the average value of $f(x)$ less than or equal to the average value of $g(x)$ over the interval $[0,10]$ , or is there not enough information to tell?

정답·풀이 보기

(a) 예, $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균은 $g(x)$ 의 평균보다 작거나 같다. 그 이유는 $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 이면 다음이 성립하기 때문이다. $\frac{1}{10}\int_0^{10}f(x)\,\mathrm{d}x \leq \frac{1}{10}\int_0^{10}g(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. 물론 성립할 수도 있다. 예를 들어 $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ , $g(x)=1$ 이라 하자. 그러면 $f(x) \leq g(x)$ 이고 $f(x)$ 의 평균은 0이며, 이는 $g(x)$ 의 평균인 1보다 작다.

그러나 $f(x) = \begin{cases} 100 & \text{(}0 \le x \le 0.01\text{ 일 때)}\\ 0 & \text{ 그 외 } \end{cases}$ 이고 $g(x) = 0$ 인 경우를 생각하자. 그러면 $[0.01,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \le g(x)$ 이지만, $f(x)$ 의 평균은 $0.1$ 이고 $g(x)$ 의 평균은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Yes, the average of $f(x)$ is less than or equal to the average of $g(x)$ on $[0,10]$ . The reason is that, if $f(x) \leq g(x)$ for all $x$ in $[0,10]$ , then: $\frac{1}{10}\int_0^{10}f(x)\,\mathrm{d}x \leq \frac{1}{10}\int_0^{10}g(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) There is not enough information to tell. It's certainly possible: for instance, take $f(x)=0$ and $g(x)=1$ for all $x$ in $[0,10]$ . Then $f(x) \leq g(x)$ and the average of $f(x)$ is 0, which is less than 1, the average of $g(x)$ .

However, consider $f(x) = \begin{cases} 100 & \text{ if } 0 \le x \le 0.01\\ 0 & \text{ else } \end{cases}$ and $g(x) = 0$ . Then $f(x) \le g(x)$ for all $x$ in $[0.01,10]$ , but the average of $f(x)$ is $0.1$ , while the average of $g(x)$ is 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.2절 · 12번

# 함수의 평균값계산기본자동 분류