적분의 활용 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 6.4절 · 29번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 곡선을 $x$ 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면의 넓이를 구하세요. 적분을 정확히 구할 수 없으면 계산기로 근삿값을 구하세요.

$y=7x$ ( $x=-1$ 부터 $x=1$ 까지)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the $x\text{-axis}.$ If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.

$y=7x$ from $x=-1\,\text{to}\,x=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

겉넓이는 $\int 2\pi\,(\text{반지름})\,ds$ 이고, 반지름은 $|y|$ , $ds=\sqrt{1+(y')^2}dx$ 예요.

1
$x$ 축 둘레로 돌린 곡면의 넓이는 $S=\int_a^b2\pi\,|y|\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ 예요. 반지름은 축에서 곡선까지의 거리 $|y|$ 라서 절댓값이 필요해요.
2
$y'=7$ 이므로 $\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ 이고 $|y|=7|x|$ 예요.
3
$S=2\pi\int_{-1}^{1}7|x|\cdot5\sqrt2\,dx=70\sqrt2\,\pi\int_{-1}^{1}|x|\,dx$
4
$\int_{-1}^{1}|x|\,dx=2\int_0^1x\,dx=2\cdot\frac12=1$ 이므로 $S=70\sqrt2\,\pi$ 예요.
5
검산해요. 이 곡면은 꼭짓점이 원점인 두 원뿔을 맞붙인 모양이에요. 한 원뿔은 밑면 반지름 $7$ , 높이 $1$ , 빗변 $\sqrt{50}$ 이므로 옆넓이 $\pi\cdot7\cdot\sqrt{50}=35\sqrt2\,\pi$ 이고, 둘을 합하면 $70\sqrt2\,\pi$ 예요.

답

$70\sqrt{2}\,\pi$

자주 하는 실수

$x<0$ 에서 $y$ 가 음수라 반지름이 음수가 되어 구간 전체가 $0$ 으로 상쇄된다고 착각해요. 반지름은 $|y|$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

$70\pi \sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번

# 회전체의 겉넓이계산보통

2.OpenStax 1권 · 6.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 곡선 $y=3x,x=0$ , 및 $y=3$ 으로 유계이고 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전한다.

영어 원문 보기

[T] Bounded by the curves $y=3x,x=0,$ and $y=3$ rotated around the $y\text{-axis}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 6번

# 원통 껍질법계산자동 분류

3.OpenStax 1권 · 6.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=1-{x}^{2},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=1-{x}^{2},x=0,\,\text{and}\,x=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.3절 · 3번

# 원통 껍질법계산자동 분류

4.OpenStax 1권 · 6.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 원통껍질법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 축으로 회전시킴에 유의하세요.

$y=5{x}^{3},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=5{x}^{3},x=0,\,\text{and}\,x=1$

정답·풀이 보기

$2\pi$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.3절 · 3번

# 원통 껍질법계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 6.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있고, $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=\frac{1}{x},x=1,\,\text{그리고}\,x=100$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\frac{1}{x},x=1,\,\text{and}\,x=100$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 38번

# 원통 껍질법계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 6.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 셸 방법을 사용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x$ 축 사이에 있고 $y$ 축을 중심으로 회전시킨다는 점에 주의하세요.

$y=\sqrt{1-{x}^{2}},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\sqrt{1-{x}^{2}},x=0,\,\text{and}\,x=1$

정답·풀이 보기

$\frac{2\pi }{3}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2\pi }{3}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 26번

# 원통 껍질법계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 6.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있고 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=\frac{1}{1+{x}^{2}},x=0,\,\text{그리고}\,x=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\frac{1}{1+{x}^{2}},x=0,\,\text{and}\,x=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 40번

# 원통 껍질법계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 6.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있고 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전함에 유의하세요.

$y=\sin {x}^{2},x=0,\,\text{그리고}\,x=\sqrt{\pi }$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\sin {x}^{2},x=0,\,\text{and}\,x=\sqrt{\pi }$

정답·풀이 보기

$2\pi$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 10번

# 원통 껍질법계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 6.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 원통껍질 방법을 사용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 회전축으로 하여 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}},x=0,\,\text{그리고}\,x=\frac{1}{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}},x=0,\,\text{and}\,x=\frac{1}{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 20번

# 원통 껍질법계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 6.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 셸 방법을 사용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x$ 축 사이에 있고 $y$ 축을 중심으로 회전시킨다는 점에 주의하세요.

$y=\sqrt{x},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\sqrt{x},x=0,\,\text{and}\,x=1$

정답·풀이 보기

$\frac{4\pi }{5}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4\pi }{5}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 22번

# 원통 껍질법계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 6.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y={(1+{x}^{2})}^{3},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y={(1+{x}^{2})}^{3},x=0,\,\text{and}\,x=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 48번

# 원통 껍질법계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 6.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=5{x}^{3}-2{x}^{4},x=0,\,\text{그리고}\,x=2$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=5{x}^{3}-2{x}^{4},x=0,\,\text{and}\,x=2$

정답·풀이 보기

$\frac{64\pi }{3}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{64\pi }{3}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 24번

# 원통 껍질법계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 6.3절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 원통껍질법을 이용하여 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시켜 생기는 입체의 부피를 구하세요.

$y=\sqrt{1-{x}^{2}},x=0,\,x=1$ 그리고 x축

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$y=\sqrt{1-{x}^{2}},x=0,\,x=1$ and the x-axis

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 12번

# 원통 껍질법계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 6.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 셸 방법을 이용하여 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 둘레로 회전시켜 생기는 부피를 구하세요.

$y={x}^{2},x=0,\,x=2$ 와 x축

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$y={x}^{2},x=0,\,x=2$ and the x-axis

정답·풀이 보기

$\frac{32\pi }{5}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{32\pi }{5}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 48번

# 원통 껍질법계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 6.3절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 원통 껍질 방법을 이용하여 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시켜 생기는 부피를 구하세요.

$y=\frac{{x}^{3}}{2},\,x=0,\,x=2$ , 및 x축

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$y=\frac{{x}^{3}}{2},\,x=0,\,x=2,$ and the x-axis

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 26번

# 원통 껍질법계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 6.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 셸 방법을 사용하여 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 둘레로 회전시켜 생기는 부피를 구하세요.

$y=\frac{2}{{x}^{2}},\,x=1,\,x=2$ , 그리고 x축

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$y=\frac{2}{{x}^{2}},\,x=1,\,x=2,$ and the x-axis

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{7\pi }{6}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{7\pi }{6}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 18번

# 원통 껍질법계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 6.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 셸 방법을 사용하여 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요.

$x=\frac{1}{1+{y}^{2}},y=4$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$x=\frac{1}{1+{y}^{2}},y=4$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 32번

# 원통 껍질법계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 6.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습 문제에서는 원통 껍질법을 사용하여, 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 둘레로 회전시켜 생기는 부피를 구하세요.

$x=\frac{1+{y}^{2}}{y},y=1,\,y=4$ , 그리고 y축

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$x=\frac{1+{y}^{2}}{y},y=1,\,y=4,$ and the y-axis

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$48\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$48\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 38번

# 원통 껍질법계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 6.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 원통 껍질법을 이용하여 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요.

$x=\sqrt{4-{y}^{2}},x=0,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$x=\sqrt{4-{y}^{2}},x=0,y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 16번

# 원통 껍질법계산자동 분류

20.OpenStax 1권 · 6.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 을 회전축으로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요.

$x={y}^{3}-2{y}^{2},\,x=0,\,x=9$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$x={y}^{3}-2{y}^{2},\,x=0,\,x=9$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{308\pi }{5}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{308\pi }{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 14번

# 원통 껍질법계산자동 분류

적분의 활용 전체 문제