문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

넓이(여러 가지 함수)

지수·로그·삼각함수 등이 만드는 곡선 사이의 넓이를 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 6.1절 · 27번우리말 풀이

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축 또는 $y$ 축 중 편한 쪽으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=xe^x$ , $y=e^x$ , $x=0$ , $x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y=x{e}^{x},y={e}^{x},x=0,\,\text{and}\,x=1$

풀이 보기

구간 $[0,1]$ 에서 어느 곡선이 위인지 확인하고, $xe^x$ 는 부분적분으로 적분해요.

1
$e^x>0$ 이므로 $xe^x\le e^x$ 인지는 $x\le1$ 인지로 정해져요. $0\le x\le1$ 에서 $x\le1$ 이므로 $y=e^x$ 가 위, $y=xe^x$ 가 아래예요. 그림에서도 $x=1$ 에서 두 곡선이 만나요.
2
넓이는 $\int_0^1(e^x-xe^x)\,dx$ 예요. 먼저 $\int_0^1e^xdx=e-1$ 이에요.
3
$\int_0^1xe^x\,dx$ 는 부분적분으로 구해요. $u=x$ , $v'=e^x$ 로 놓으면 $\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x$ 이므로 $\left[xe^x-e^x\right]_0^1=(e-e)-(0-1)=1$ 이에요.
4
따라서 넓이는 $(e-1)-1=e-2$ 예요.

답

$e-2$

자주 하는 실수

$x=1$ 에서 두 곡선이 만난다는 것을 놓치고 위아래를 바꿔서 음수 넓이가 나오는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the equations y=xe^x and y=e^x. The graphs intersect, forming a region in between them in the first quadrant.

$e-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 41번

# 넓이(여러 가지 함수)계산보통

2.OpenStax 1권 · 6.1절 · 31번우리말 풀이

다음 문제에서 두 식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠한 뒤, $x$ 축 또는 $y$ 축 중 더 편한 쪽으로 적분하여 넓이를 구하세요.

$y=4-3x$ 와 $y=\frac1x$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y=4-3x\,\text{and}\,y=\frac{1}{x}$

풀이 보기

먼저 교점을 구하고, 구간에서 어느 그래프가 위에 있는지 확인한 뒤 (위 $-$ 아래)를 적분해요.

1
두 그래프를 그려요. $y=4-3x$ 는 기울기 $-3$ , $y$ 절편 $4$ 인 직선이고, $y=\frac1x$ 는 제1사분면에서 감소하는 곡선이에요. 직선이 곡선과 두 점에서 만나 그 사이에 영역이 생겨요.
2
교점을 구해요. $4-3x=\frac1x$ 의 양변에 $x$ 를 곱하면 $4x-3x^2=1$ , 즉 $3x^2-4x+1=0$ 이고 $(3x-1)(x-1)=0$ 이므로 $x=\frac13,\ 1$ 이에요.
3
두 교점 사이의 한 점 $x=\frac12$ 에서 직선은 $4-\frac32=\frac52$ , 곡선은 $2$ 이므로 직선이 위에 있어요.
4
넓이는 (위 $-$ 아래)의 정적분이에요. $A=\int_{1/3}^{1}\left(4-3x-\frac1x\right)dx=\left[4x-\frac32x^2-\ln x\right]_{1/3}^{1}$
5
$x=1$ 에서의 값은 $4-\frac32-0=\frac52$ 이고, $x=\frac13$ 에서의 값은 $\frac43-\frac16-\ln\frac13=\frac76+\ln3$ 이에요. 따라서 $A=\frac52-\frac76-\ln3=\frac43-\ln3$

답

$\frac43-\ln 3$ (약 $0.235$ )

자주 하는 실수

$x=\frac13$ 에서 $-\ln\frac13=+\ln3$ 의 부호를 틀리기 쉬워요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the equations y=4-3x and y=1/x. The graphs intersect, having region between them shaded. The region is in the first quadrant.

$\frac{4}{3}-\ln (3)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 27번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석보통