적분법 전체 문제

부정적분은 미분하면 $\sin x$가 되는 함수예요. $(\cos x)'=-\sin x$이므로 부호가 반대인 $-\cos x$를 생각해요.

확인해 봐요. $(-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x$로 맞아요. 상수는 미분하면 $0$이므로 적분상수 $C$를 붙여요. $$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$$

먼저 $f''(x)=e^{-x}$를 한 번 적분해 $f'$을 구해요. $(e^{-x})'=-e^{-x}$이므로 $\int e^{-x}dx=-e^{-x}$예요. 따라서 $f'(x)=-e^{-x}+C_1$이에요.

한 번 더 적분해요. $\int(-e^{-x})dx=e^{-x}$이므로 $f(x)=e^{-x}+C_1x+C_2$예요.

$C_1$, $C_2$는 아무 상수나 될 수 있어요. $C_1=C_2=0$으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}$이고, $C_1=1$, $C_2=0$으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}+x$예요. 둘 다 두 번 미분하면 $e^{-x}$가 되는지 확인해 봐요.

$[0,6]$을 6등분하면 $\Delta x=1$이고 분점은 $x=0,1,2,3,4,5,6$이에요. 각 분점의 함숫값을 구해요. $f(0)=\sqrt{9-9}=0$, $f(1)=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2361$, $f(2)=\sqrt{8}\approx2.8284$, $f(3)=3$, $f(4)=\sqrt8$, $f(5)=\sqrt5$, $f(6)=0$이에요.

좌합은 각 구간의 왼쪽 끝 값을 써요. $L_6=\Delta x\,[f(0)+f(1)+\cdots+f(5)]=0+2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361\approx13.129$예요.

우합은 오른쪽 끝 값을 써요. $R_6=\Delta x\,[f(1)+\cdots+f(6)]=2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361+0\approx13.129$예요.

두 값이 같은 이유는 좌합에만 들어가는 $f(0)$과 우합에만 들어가는 $f(6)$이 모두 $0$이기 때문이에요. 이 함수는 반지름 3인 반원이라 실제 넓이 $\frac{9\pi}{2}\approx14.14$보다 약간 작은 근삿값이에요.

구간 $[0,1]$ 을 100등분하면 한 칸의 폭은 $\Delta x=\frac{1}{100}$ 이고, 분점은 $x_i=\frac{i}{100}$ 예요.

오른쪽 끝점 합은 $i=1,2,\dots,100$ 에서 높이 $x_i^2=\left(\frac{i}{100}\right)^2$ 을 쓰므로 $$R_{100}=\sum_{i=1}^{100}\left(\frac{i}{100}\right)^2\cdot\frac1{100}=\frac{1}{10^6}\sum_{i=1}^{100}i^2$$ 이에요.

제곱의 합 공식 $\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 에 $n=100$ 을 넣으면 $\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=338350$ 이에요. 그래서 $R_{100}=\frac{338350}{10^6}=0.33835$ 예요.

왼쪽 끝점 합은 $i=0,1,\dots,99$ 를 쓰므로 $\sum_{i=0}^{99}i^2=338350-100^2=328350$ 이고, $L_{100}=\frac{328350}{10^6}=0.32835$ 예요.

그래프로 확인해요. $y=x^2$ 은 $[0,1]$ 에서 증가하므로 왼쪽 합은 실제 넓이보다 작고(부족하게 어림), 오른쪽 합은 실제 넓이보다 커요. 실제 넓이 $\frac13\approx0.3333$ 이 두 값 사이에 있어요.

단위원의 넓이를 $A$라 해요. 원을 중심각 $\frac{2\pi}{n}$인 $n$개의 부채꼴로 나누면, 각 부채꼴 안에 들어가는 삼각형(밑변 $1$, 높이 $\sin\frac{2\pi}{n}$)이 있어요. 그 넓이는 $\frac12\sin\frac{2\pi}{n}$이고 $n$개를 모으면 원 안에 들어가므로 $$\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\le A$$

반대로 각 부채꼴을 완전히 덮는 바깥쪽 삼각형의 넓이는 $\frac12BH=\frac12B^2\sin\frac{2\pi}{n}$이에요. $n$개를 모으면 원을 덮으므로 $$A\le\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)B^2$$

왼쪽 값의 극한을 구해요. $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}=\pi\cdot\frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}$이고, $n\to\infty$이면 $\frac{2\pi}{n}\to0$이므로 $\frac{\sin x}{x}\to1$ 덕분에 $\pi$에 가까워져요. 그래서 $\pi\le A$예요.

오른쪽 값의 극한을 구해요. $n\to\infty$이면 $\frac{\pi}{n}\to0$이므로 $B=\cos\frac{\pi}{n}+\sin\frac{\pi}{n}\tan\frac{\pi}{n}\to1+0\cdot0=1$이에요. 따라서 $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}B^2\to\pi\cdot1=\pi$이고 $A\le\pi$예요.

$\pi\le A\le\pi$이므로 조임 정리에 의해 $A=\pi$예요. 즉 단위원의 넓이는 $\pi$예요.

오른쪽 끝점 합은 $R_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x$ 꼴이에요. 주어진 식과 비교해 각 부분이 무엇인지 읽어요.

$\Delta x=\frac1n$ 이고 $x_i=\frac in$ 이에요. 구간이 $[a,b]$ 이면 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, $x_i=a+i\Delta x$ 이므로 $b-a=1$, $a=0$ 으로 읽을 수 있어요. 즉 구간은 $[0,1]$ 이에요.

그러면 $x_i=\frac in$ 에서의 함숫값이 $\frac in$ 이므로 $f(x)=x$ 예요.

따라서 $$\lim_{n\to\infty}R_n=\int_0^1 x\,dx$$ 예요. (값은 $\frac12$ 이에요.)

구간 $[1,2]$ 를 10등분하면 $\Delta t=0.1$ 이고 분점은 $t_i=1+0.1i$ 예요.

왼쪽 합은 $i=0,\dots,9$ 를 쓰므로 $L_{10}=0.1\sum_{i=0}^{9}\bigl(4-t_i^2\bigr)$ 이에요. $\sum_{i=0}^{9}t_i^2=\sum(1+0.2i+0.01i^2)=10+0.2\cdot45+0.01\cdot285=21.85$ 이므로 $\sum(4-t_i^2)=40-21.85=18.15$, 따라서 $L_{10}=1.815$ 예요.

오른쪽 합은 $i=1,\dots,10$ 을 쓰므로 $\sum t_i^2=10+0.2\cdot55+0.01\cdot385=24.85$ 이고 $\sum(4-t_i^2)=40-24.85=15.15$ 예요. 따라서 $R_{10}=1.515$ 예요.

평균은 $$\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=\frac{1.815+1.515}{2}=1.665$$ 예요. $f$ 가 감소하므로 $L_{10}$ 은 실제보다 크고 $R_{10}$ 은 작아서, 평균을 내면 서로 오차가 상쇄돼요.

실제 값 $1.666\ldots$ 과 비교하면 $1.665$ 는 차이가 약 $0.0017$ 이에요. 소수 둘째 자리까지 같은 값($1.66$)이므로 소수점 아래 둘째 자리까지 정확해요.

$\sin\theta$의 부정적분 하나는 $F(\theta)=-\cos\theta$예요. 미분하면 $\sin\theta$가 되는 것을 확인할 수 있어요.

기본정리 2부에 의해 $\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=F\left(\frac\pi2\right)-F(0)$예요.

$F\left(\frac\pi2\right)=-\cos\frac\pi2=0$, $F(0)=-\cos0=-1$이므로 $0-(-1)=1$이에요.

$\frac{1}{2x}=\frac12\cdot\frac1x$이므로 상수배를 앞으로 꺼내요. $\int\frac{dx}{2x}=\frac12\int\frac1x\,dx$예요.

$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$이므로 $\frac12\ln|x|+C$예요. $x$가 음수일 수도 있으므로 절댓값을 붙여요.

에너지는 출력을 시간에 대해 적분한 값이에요. 표는 1초마다 값이 있으므로 폭이 $\Delta t=1$초인 직사각형의 합(리만 합)으로 근사해요. 각 칸의 에너지는 (와트)×(1초)=줄이에요.

1초부터 9초까지의 합은 $600+500+575+1050+925+950+1050+950+1100=7700$이에요.

10초부터 18초까지의 합은 $1200+1170+1125+1100+1075+1000+950+900+780=9300$이에요. 전체는 $7700+9300=17000$줄, 즉 $17\text{ kJ}$예요.

평균 출력은 전체 에너지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $\frac{17000\text{ J}}{18\text{ s}}\approx944\text{ W}$예요.

왜 이렇게 할까요? 분모 안의 식 $x^2+1$ 을 $u$ 로 놓으면 그 도함수 $2x$ 가 분자에 (상수배로) 들어 있어서 식이 간단해져요.

$du$ 를 구해요. $u=x^2+1$ 의 양변을 미분하면 $du=2x\,dx$, 즉 $x\,dx=\frac12du$ 예요.

치환해서 적분해요. $$\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac12\int u^{-1/2}du=\frac12\cdot 2u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C$$

$x$ 로 되돌려요. $u=x^2+1$ 을 다시 넣으면 $\sqrt{x^2+1}+C$ 예요.

왜 이렇게 할까요? 분모 괄호 안의 식 $x^3-3$ 의 도함수 $3x^2$ 이 분자의 $x^2$ 과 상수배 차이만 있어서, 치환하면 깔끔해져요.

치환해요. $u=x^3-3$ 으로 놓으면 $du=3x^2dx$, 즉 $x^2dx=\frac13du$ 예요.

적분해요. $$\int\frac{x^2dx}{(x^3-3)^2}=\frac13\int u^{-2}du=\frac13\cdot\left(-\frac1u\right)+C=-\frac{1}{3u}+C$$

$x$ 로 되돌려요. $$-\frac{1}{3(x^3-3)}+C$$

왜 이렇게 할까요? 분모 $\cos^4\theta$ 의 속함수 $\cos\theta$ 의 도함수가 $-\sin\theta$ 로 분자에 있어요. 그래서 $u=\cos\theta$ 가 알맞아요.

치환식과 구간을 바꿔요. $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, $\theta=0$ 이면 $u=1$, $\theta=\frac\pi4$ 이면 $u=\frac{1}{\sqrt2}$ 예요.

식을 바꿔 적분해요. $$\int_0^{\pi/4}\frac{\sin\theta}{\cos^4\theta}d\theta=\int_1^{1/\sqrt2}-u^{-4}du=\int_{1/\sqrt2}^{1}u^{-4}du$$ 위끝과 아래끝을 바꾸면서 음수 부호가 사라졌어요.

값을 구해요. $$\left[-\frac{1}{3u^3}\right]_{1/\sqrt2}^{1}=-\frac13+\frac{(\sqrt2)^3}{3}=\frac{2\sqrt2-1}{3}$$

먼저 주어진 공식을 확인해요. $\frac{d}{dx}\left[x(\ln x-1)\right]=(\ln x-1)+x\cdot\frac1x=\ln x$ 이므로 $\int\ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$ 가 맞아요.

로그를 정리해요. ($x>0$ 으로 생각해요.) $\ln(x^2)=2\ln x$ 이고, $x^3=u$ 로 두면 $\ln x=\frac13\ln u$ 예요. 그래서 $$x^2\ln(x^2)=2x^2\ln x=\frac{2}{3}\,x^2\ln u$$

치환해요. $u=x^3$ 이면 $du=3x^2dx$, 즉 $x^2dx=\frac{du}{3}$ 이에요. $$\int x^2\ln(x^2)\,dx=\int 2\cdot\frac{1}{3}\ln u\cdot\frac{du}{3}=\frac{2}{9}\int\ln u\,du$$

공식을 써요. $$\frac29\int\ln u\,du=\frac29\,u(\ln u-1)+C$$

$x$ 로 되돌려요. $u=x^3$ 이므로 $$\frac{2}{9}x^3\left(\ln(x^3)-1\right)+C$$ 로 정리돼요. (직접 부분적분으로 풀어도 $\frac23x^3\ln x-\frac29x^3+C$ 로 같은 식이에요.)

왜 이렇게 할까요? $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ 로 쓰면, 분자 $\cos x$ 가 분모 $\sin x$ 의 도함수예요. 이런 꼴은 $\int\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\ln|g(x)|+C$ 를 써요.

부정적분을 구해요. $$\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$$ (구간에서 $\sin x>0$ 이에요.)

위끝과 아래끝을 넣어요. $$\Big[\ln\sin x\Big]_{\pi/4}^{\pi/3}=\ln\frac{\sqrt3}{2}-\ln\frac{\sqrt2}{2}$$

로그의 성질로 합쳐요. $$\ln\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=\ln\sqrt{\frac32}=\frac12\ln\frac32$$

왜 이렇게 할까요? 그래프 아래의 넓이는 정적분 $\int_3^4 2^{-x}dx$ 의 값이에요. 먼저 부정적분을 구해요.

부정적분. $2^{-x}=\left(\frac12\right)^x$ 이므로 $\int 2^{-x}dx=-\frac{2^{-x}}{\ln2}+C$ 예요. 미분하면 $-\frac{2^{-x}\cdot(-\ln 2)}{\ln 2}=2^{-x}$ 로 맞아요.

위끝과 아래끝을 넣어요. $$\left[-\frac{2^{-x}}{\ln2}\right]_3^4=-\frac{2^{-4}}{\ln2}+\frac{2^{-3}}{\ln2}=\frac{1}{\ln2}\left(\frac18-\frac1{16}\right)=\frac{1}{16\ln2}$$

원본 답과 같은 꼴로 바꿔요. $65536=2^{16}$ 이므로 $\ln(65536)=16\ln2$ 이고 $$\frac{1}{16\ln2}=\frac{1}{\ln(65536)}$$