입체도형의 부피 연습문제

1.CLP-2 · 1.6절 · 17번우리말 번역

지구의 모양은 구가 아니라 납작한 회전타원체로 어림되는 경우가 많습니다. 납작한 회전타원체는 타원을 단축(가장 짧은 지름)을 축으로 회전시켜 만든 도형입니다.

(a) 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 위쪽(양의) 절반을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 얻은 납작한 회전타원체의 부피를 구하세요. 단, $a$ 와 $b$ 는 $a \geq b$ 인 양의 상수입니다. (b) (지구 개요 자료, NASA, https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html, 2017년 7월 2일 접속) 지구의 적도 반지름이 6378.137 km 이고 극 반지름이 6356.752 km 라고 합시다. 지구를 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 위쪽 절반을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 얻은 납작한 회전타원체로 모형화하면, $a$ 와 $b$ 는 각각 얼마인지 구하세요. (c) 이 지구 모형의 부피를 구하세요. (계산기를 사용하세요.) (d) 지구를 반지름이 $6378.137$ km 인 구로 모형화하여 부피를 계산했다고 합시다. 납작한 회전타원체로 계산한 값과 비교할 때 절대오차와 상대오차는 각각 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

The shape of the earth is often approximated by an oblate spheroid, rather than a sphere. An oblate spheroid is formed by rotating an ellipse about its minor axis (its shortest diameter).

(a) Find the volume of the oblate spheroid obtained by rotating the upper (positive) half of the ellipse $(ax)^2+(by)^2=1$ about the $x$ -axis, where $a$ and $b$ are positive constants with $a \geq b$ . (b) Suppose (Earth Fact Sheet, NASA, https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html, accessed 2 July 2017) the earth has radius at the equator of 6378.137 km, and radius at the poles of 6356.752 km. If we model the earth as an oblate spheroid formed by rotating the upper half of the ellipse $(ax)^2+(by)^2=1$ about the $x$ -axis, what are $a$ and $b$ ? (c) What is the volume of this model of the earth? (Use a calculator.) (d) Suppose we had calculated the volume of the earth by modelling it as a sphere with radius $6378.137$ km. What would our absolute and relative errors be, compared to our oblate spheroid calculation?

정답·풀이 보기

(a)

먼저 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 위쪽 절반의 그래프를 그린다. 절편만 알아도 대략적인 모양을 알 수 있다: $(0,\frac{1}{b})$ 와 $(\pm\frac{1}{a},0)$ :

처음에 몇 가지를 짚어 두자. 첫째, $a \geq b$ 이므로 $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ 이고, 따라서 $x$ 축이 단축이다. 즉, 납작한 회전타원체를 만들기 위해 알맞은 축을 중심으로 회전시키고 있다.

둘째, 방정식을 $y$ 에 대해 풀면 $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ 이다. (타원의 위쪽 절반만 필요하므로 양의 제곱근만 생각하면 된다.)

이제 표준적인 회전체의 부피 문제이다. 너비가 $\mathrm{d}x$ 이고 높이가 $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ 인 세로 조각으로 나눈다. 이 조각들을 $x$ 축을 중심으로 회전시키면 부피가 $\pi\left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x$ 인 얇은 원판이 된다. $x$ 는 $-\frac{1}{a}$ 에서 $\frac{1}{a}$ 까지 변하므로, 납작한 회전타원체의 부피는 다음과 같다:

$\begin{aligned} \text{부피}&=\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} \pi \left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi}{b^2}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\int_{0}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x&\text{(우함수)}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[x - \frac{a^2x^3}{3}\right]_{0}^{\frac{1}{a}}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[\frac{1}{a} - \frac{1}{3a} \right] = \frac{4\pi}{3b^2a} \end{aligned}$

(b) (a)의 그래프에서 보았듯이 타원의 가장 짧은 반지름은 $\frac{1}{a}$ 이고 가장 긴 반지름은 $\frac{1}{b}$ 이다. 따라서 $\frac{1}{a} = 6356.752$ 이고 $\frac{1}{b} = 6378.137$ 이다. 즉, $a = \dfrac{1}{6356.752}$ 이고 $b=\dfrac{1}{6378.137}$ 이다.

(a)에서 주어진 대로 $a \geq b$ 임에 유의한다.

$\begin{aligned} \frac{4\pi}{3b^2a} &= \frac{4\pi}{3}\left(\frac{1}{b}\right)^2\left(\frac{1}{a}\right)\\ &=\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right)\\ &\approx 1.08321\times 10^{12} \quad\mathrm{km}^3\\ &\approx 1.08321\times 10^{21} \quad\mathrm{m}^3 \end{aligned}$

(d) 반지름이 6378.137 인 구의 부피는

$\begin{aligned} &\dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \\ \text{따라서 절대오차는 다음과 같다:} \\ &\left|\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right) - \dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \right|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2(21.385)\\ \approx&~3.64 \times 10^{9}~\mathrm{km}^3 \\ \text{그리고 상대오차는 다음과 같다:} \\ \frac{\text{절대오차}}{\text{참값}}&=\frac{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|}{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right)}\\ &=\frac{\big|6356.752 - 6378.137\big|}{6356.752}\\ &=\frac{6378.137}{6356.752}-1\\ &\approx ~0.00336 \end{aligned}$

즉, 약 $0.336\%$ 로, 1퍼센트의 약 3분의 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a)

We'll want to start by graphing the upper half of the ellipse $(ax)^2+(by)^2=1$ . Its intercepts will be enough to get us an idea: $(0,\frac{1}{b})$ and $(\pm\frac{1}{a},0)$ :

We note a few things at the outset: first, since $a \geq b$ , then $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ , so indeed the $x$ -axis is the minor axis. That is, we're rotating about the proper axis to create an oblate spheroid.

Second, if we solve our equation for $y$ , we get $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ . (Since we only want the upper half of the ellipse, we only need to consider the positive square root.)

Now, we have a standard volume-of-revolution problem. We make vertical slices, of width $\mathrm{d}x$ and height $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ . When we rotate these slices about the $x$ -axis, they form thin disks of volume $\pi\left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x$ . Since $x$ runs from $-\frac{1}{a}$ to $\frac{1}{a}$ , the volume of our oblate spheroid is:

$\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} \pi \left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi}{b^2}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\int_{0}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x&\text{(even function)}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[x - \frac{a^2x^3}{3}\right]_{0}^{\frac{1}{a}}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[\frac{1}{a} - \frac{1}{3a} \right] = \frac{4\pi}{3b^2a} \end{aligned}$

(b) As we saw in the sketch from part (a), the shortest radius of the ellipse is $\frac{1}{a}$ , while the largest is $\frac{1}{b}$ . So, $\frac{1}{a} = 6356.752$ , and $\frac{1}{b} = 6378.137$ . That is, $a = \dfrac{1}{6356.752}$ and $b=\dfrac{1}{6378.137}$ .

Note $a \geq b$ , as specified in part (a).

(c) Combining our answers from (a) and (b), the volume of an oblate spheroid with approximately the same dimensions as the earth is:

(d) A sphere of radius 6378.137 has volume

$\begin{aligned} &\dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \\ \text{So, our absolute error is:} \\ &\left|\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right) - \dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \right|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2(21.385)\\ \approx&~3.64 \times 10^{9}~\mathrm{km}^3 \\ \text{And our relative error is:} \\ \frac{\text{abs error}}{\text{actual value}}&=\frac{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|}{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right)}\\ &=\frac{\big|6356.752 - 6378.137\big|}{6356.752}\\ &=\frac{6378.137}{6356.752}-1\\ &\approx ~0.00336 \end{aligned}$

That is, about $0.336\%$ , or about one-third of one percent.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 2번

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